Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
CONSIGNES:
Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Le sujet est composé de deux parties indépendantes.
Première Partie. Modélisation d'un manège de chevaux de bois.
L'espace euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).
Un manège pour enfant est constitué d'un cheval de bois tournant autour de l'axe du manège et animé d'un mouvement vertical.
Ce dispositif est schématisé par la figure ci-contre et on suppose que les coordonnées du point sont :
On note la courbe décrite par l'ensemble des points
lorsque parcourt .
Pour tout réel , on appelle vecteur vitesse au point le vecteur et vecteur accélération au point le vecteur . On note et les normes des vecteurs et .
(a) Démontrer que tous les points de sont réguliers.
(b) Déterminer un vecteur directeur de la tangente à en un point où .
(c) Dans le cas particulier , donner une équation du plan passant par et orthogonal à la tangente à en .
(a) Déterminer et pour tout .
(b) Pour quelles valeurs de est-elle minimale? maximale?
(c) Vérifier que est minimale lorsque est maximale. Que peut-on dire de la direction du vecteur dans ce cas?
Justifier que la courbe est incluse dans la surface d'équation .
Le propriétaire du manège souhaite construire un toit incliné au dessus de son manège. Pour en connaitre la forme, il fait l'intersection de la surface avec le plan d'équation . Une représentation cartésienne du bord du toit est . On note cette courbe.
(a) Donner un vecteur directeur de la tangente à au point de coordonnées .
(b) Donner un vecteur unitaire normal au plan .
(c) On considère la matrice .
i. Démontrer que la matrice est orthogonale.
ii. On note l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice . Donner la nature et les éléments caractéristiques de .
(d) On note et les vecteurs et . Sans calcul supplémentaire, justifier que ( ) est une base orthonormée directe.
(e) On note le point de coordonnées dans le repère . Soit un point de . On note ( ) ses coordonnées dans le repère ( ), ( ) ses coordonnées dans le repère ( ) et ( ) ses coordonnées dans le repère ( ).
i. Quelle relation existe-t-il entre les vecteurs et ?
ii. Démontrer que dans le repère ( ), une représentation cartésienne de est .
iii. En déduire la nature de .
Suite à une erreur de montage, le support du cheval de bois, c'est à dire la droite , n'est plus vertical mais incliné. A l'instant , ce support, noté a pour équations cartésiennes où est un réel appartenant à l'intervalle [ ]
(a) Déterminer une équation de la surface de révolution obtenue en faisant tourner la droite autour de l'axe ( ).
(b) Justifier que est une surface réglée.
(c) Le propriétaire du manège souhaite désormais savoir quelle sera la forme du bord de son nouveau toit, noté obtenu en faisant l'intersection de et du plan défini dans la question 4 .
On admet que dans le repère ( ), une représentation cartésienne de est
A quel type de conique, la courbe appartient-elle?
Deuxième Partie.
Modélisation d'un deuxième manège pour enfant.
Le plan affine euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).
Question préliminaire. Soit un point de d'affixe complexe .
(a) Donner sans justification l'affixe complexe de l'image de par la rotation de centre et d'angle .
(b) Donner sans justification l'affixe complexe de l'image de par l'homothétie de centre et de rapport avec .
(c) Vérifier que . On note alors .
Formules de trigonométrie. On considère 4 réels et .
(a) Donner, sans démonstation, la linéarisation de et .
(b) En déduire que ainsi qu'une factorisation de .
Un manège pour enfant est constitué d'une plateforme tournant autour d'un axe, lui même animé d'un mouvement circulaire.
Ce dispositif est schématisé par la figure ci-contre et les mouvements des points et sont donnés par :
L'affixe complexe du point est ;
L'affixe complexe du vecteur est . On note l'affixe complexe du point et la courbe décrite par l'ensemble des points pour .
(a) En calculant pour tout réel l'affixe complexe du point , démontrer qu'une représentation paramétrique de est .
(b) Pour tout réel , comparer les affixes complexes de et de . En déduire que est invariante par une rotation à préciser.
(c) Justifier soigneusement que l'on peut réduire l'intervalle d'étude de à . On donnera à chaque étape les transformations à effectuer pour obtenir la courbe en entier.
(d) Calculer pour et justifier les égalités :
(e) Calculer pour et justifier les égalités :
(f) Dresser les tableaux de variation des fonctions et sur . On précisera les valeurs prises aux bornes de cet intervalle.
(g) Déterminer une équation à la tangente à au point et vérifier qu'elle passe par le point de coordonnées ( 2,0 ).
(h) Déterminer la nature du point et préciser la tangente à en ce point.
(i) Calculer la longueur de .
(j) Tracer ainsi que ses tangentes déterminées précédemment sur la feuille de papier millimétrée fournie. On utilisera des couleurs différentes pour les différentes étapes de la construction sans oublier la légende. On donne .
Unité : 3 cm .
4. Développée de
(a) Démontrer que le centre de courbure de en un point régulier est le point de coordonnées .
On note la courbe de représentation paramétrique :
et désigne le point de de paramètre .
(b) Justifier que , pour et une valeur de à préciser, la fonction étant définie dans la question préliminaire.
(c) Indiquer une méthode de construction de . Le tracé n'est pas demandé.
(d) Soient et .
i. Démontrer que la tangente à en et la tangente à en sont orthogonales si et seulement si .
ii. En déduire, sans calcul, que la tangente à en et la tangente à en sont parallèles.
Fin de l'épreuve
Banque PT Mathématiques B PT 2021 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa
