Banque PT Mathématiques B PT 2015

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les quatre parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Dans ce sujet, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Dans l'espace euclidien rapporté au repère orthonormé direct ( ), on condidère la surface d'équation cartésienne , la surface d'équation cartésienne et le point de coordonnées ( ). On note l'intersection de et .

Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct ( ), on considère la courbe de représentation paramétrique

Pour tout strictement négatif, on désigne par le point de de paramètre .

(b) En déduire une représentation paramétrique de la développée de .
(c) Utiliser ce résultat pour donner le centre et le rayon du cercle de courbure de au point , de paramètre .
2. Soit le cercle de centre de coordonnées , et de rayon . On dit que et sont tangents en un point si
;

On donne
(d) Déterminer a pour qu'au voisinage de . Quelle(s) remarque(s) peut-on faire concernant et ?

Dans le plan euclidien , le produit scalaire des vecteurs et sera noté et la norme du vecteur sera notée .

On remarque que la valeur de est indépendante de la droite sécante à choisie. On note ce nombre.
(b) Quelle information le signe de donne-t-il sur la position du point ?
(c) Soit un point du plan tel que , l'ensemble des points du plan vérifiant , et un point de .
i. Quelle est la nature de ? Préciser ses éléments caractéristiques.
ii. Démontrer que .
2. Soient et deux cercles de centres respectifs et , distincts, de rayons respectifs et . On désigne par le milieu du segment et par l'ensemble des points du plan vérifiant .
(a) Démontrer que

(b) . Soit et deux points distincts de . Démontrer que les droites et sont orthogonales.
ii. Déterminer un point appartenant à et .
iii. En déduire la nature de .
(c) Que dire de plus sur lorsque et sont sécants ou tangents? Ou lorsque les deux cercles ont le même rayon?
(d) Dans cette question, l'unité de longueur est le centimètre. On prend , et . Tracer .
3. (a) Soient et trois points non alignés du plan, et le cercle circonscrit au triangle . Soit un point de la droite distinct de et , et un point de la droite vérifiant .
Démontrer que appartient au cercle .
(b) On se place désormais dans le plan complexe. Le vecteur a pour affixe , et le vecteur a pour affixe .
i. Rappeler la relation entre et .
ii. En déduire que ( désigne la partie réelle).
(c) Soient et les points d'affixes complexes respectives

Démontrer que et sont cocycliques (c'est-à-dire : sur un même cercle).

Soit un -espace vectoriel de dimension finie , et un endomorphisme de . Ker désigne le noyau de , et son image. On note . Enfin, est l'endomorphisme identité de désigne un réel.
(a) Démontrer que :

Quel lien peut-on en déduire entre les valeurs propres de et celles de ?
(b) Démontrer que si , alors

(c) On désigne par et les polynômes caractéristiques respectifs de et . Démontrer que .
2. Dans cette question, désigne un entier naturel supérieur ou égal à est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus .
Soit l'application définie, pour tout polynôme de , par :

(a) Démontrer que est un endomorphisme de .
(b) Déterminer et . Préciser leur dimension.
(c) est-il injectif? Surjectif?
(d) Justifier que 0 est valeur propre de . Que peut-on dire de sa multiplicité ?
(e) Démontrer que les polynômes et sont des vecteurs propres de . Quelles sont les valeurs propres associées?
(f) A-t-on ?
(g) Quelles sont les valeurs propres de ? En déduire que est diagonalisable.
(h) est-il trigonalisable ? Diagonalisable ? Préciser les valeurs propres et les sousespaces propres de .

Le cercle de courbure de la partie II s'appelle également cercle osculateur (du latin osculari : embrasser)... C'est le cercle << le plus proche >> de la courbe.
Dans la partie III, est la puissance du point I par rapport au cercle et est l'axe radical des deux cercles et . Ces deux objets, avec entre autres la notion de division harmonique conduiront au xIx siècle à la géométrie projective.