Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

On se place dans l'espace euclidien

muni d'un repère orthonormé direct (

). On note

la surface d'équation cartésienne

Déterminer la nature de la surface . On précisera les éléments caractéristiques de cette surface.
Déterminer l'équation cartésienne du plan tangent à au point de coordonnées .
Déterminer l'équation cartésienne de la courbe obtenue par l'intersection d'un plan parallèle au plan avec la surface .
Quelle est la nature de cette courbe?
(a) Déterminer la nature de l'intersection de la surface avec le plan d'équation .
(b) Déterminer la nature de l'intersection de la surface avec le plan d'équation , où est un réel non nul fixé.
(c) Déterminer la nature de l'intersection de la surface avec un plan parallèle à l'axe .
Déterminer la nature de l'intersection de la surface avec un plan contenant le point de coordonnées .

Partie II

On se place dans l'espace euclidien

muni du repère orthonormé direct (

). On considère la courbe

d'équations

Quelle est la nature de ?
Montrer que la surface , engendrée par les droites , assujetties à rencontrer l'axe et la courbe , tout en restant parallèles au plan , a pour équation

où

est un réel que l'on déterminera.

Les candidats qui n'ont pas trouvé la valeur de

sont invités à composer en gardant

comme paramètre.
3. Donner une équation de la section de

par le plan d'équation

, où

désigne un réel.
En déduire la nature de cette section ainsi que le lieu de ses sommets et de ses foyers. On étudiera à part le cas particulier du plan d'équation

.
4. Donner une équation de la section

par le plan d'équation

, où

désigne un réel.
5. On paramètre

par :

On définit la courbure en un point de

de paramètre

par :

Les points d'inflexion de

sont les points de paramètre

en lesquels la courbure s'annule en changeant de signe.
Déterminer la courbure au point de paramètre

.
En déduire le lieu des points d'inflexion de

. On étudiera à part le cas particulier du plan d'équation

Partie III

Le plan euclidien est rapporté au repère orthonormé direct (

). On donne les points

. Soit

la parabole passant par

, de foyer

et de sommet

. Tout point de

est repéré par son ordonnée

, où

désigne un réel variable.

Former une équation cartésienne de .
Soit le point de , d'ordonnée , former une équation de la tangente en à . Donner une équation de la perpendiculaire à cette tangente, menée par . Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
Etudier et tracer l'ensemble des points , lorsque décrit , c'est-à-dire lorsque décrit . On dressera le tableau des variations des coordonnées de , on précisera les branches infinies ainsi que le vecteur directeur de la tangente à au point .
On considère trois points de correspondant aux valeurs et du paramètre réel . Montrer que ces trois points sont alignés si, et seulement si

où

est un réel dont on donnera la valeur.
5. Soit

le point de

correspondant à la valeur

; la tangente à

recoupe

au point

, correspondant à la valeur

. Exprimer

en fonction de

.
6. Le point

est appelé tangentiel du point

. Montrer que si trois points de

sont alignés, alors leurs tangentiels sont alignés.
7. Quel est le tangentiel du point correspondant à

?
8. Un point peut-il être confondu avec son tangentiel?