Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

A rendre avec la copie deux feuilles de papier millimétré

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

PARTIE A

Dans l'espace euclidien, rapporté au repère orthonormé direct (

), on considère les quadriques

d'équations respectives :

Déterminer la nature des quadriques et .
Soit le point . Donner l'équation de dans le repère où :

Préciser la nature de la quadrique

On se place jusqu'à la fin de cette partie dans le repère (

).
On considère l'ellipsoïde

d'équation :

Déterminer le volume de l'ellipsoïde .
Donner une équation cartésienne du plan tangent à l'ellipsoïde au point .
(a) Donner des équations de la normale à l'ellipsoïde au point .
(b) On se place dans le cas où la normale à l'ellipsoïde rencontre les plans de coordonnées. On note respectivement et les points d'intersection entre la normale et les plans d'équations et .
Montrer que les vecteurs et sont colinéaires.
(a) Déterminer la nature de la courbe , intersection de l'ellipsoïde et du plan d'équation .
On désigne un cône de sommet passant par et désignent trois réels avec .
(b) Rappeler une condition nécessaire et suffisante, exprimée vectoriellement, pour qu'un point appartienne au cône .
(c) En déduire que le point appartient au cône si, et seulement si :

(d) Déterminer les équations de l'intersection entre le cône

et le plan de coordonnées d'équation

.
(e) En déduire les équations et la nature du lieu

des sommets des cônes contenant la courbe

et coupant le plan d'équation

suivant un cercle.

PARTIE B

Dans le plan euclidien, rapporté au repère orthonormé direct (

), on considère les courbes

d'équations respectives :

Déterminer le centre et le rayon du cercle .
Former une équation de la tangente au cercle au point .
On considère le point de coordonnées . Démontrer que la droite du plan de coefficient directeur , passant par a pour équation :

Exprimer, en fonction du réel , la distance du point à la droite .
En déduire qu'il existe deux valeurs de pour lesquelles est tangente au cercle . Donner des équations de ces deux droites et déterminer les coordonnées des points de contact de ces droites avec le cercle .
Déterminer la nature, l'excentricité, les foyers et et les directrices de la courbe plane .

On paramètre alors

en posant :

Calculer l'aire de la surface délimitée par la courbe .
Former une équation de la tangente à au point .
On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble des points du plan où passent deux tangentes orthogonales à la courbe .
(a) Donner une équation de la tangente à au point de coordonnées .
(b) On considère la droite d'équation avec et réels non tous deux nuls. Montrer que la droite est tangente à si, et seulement si :

un point du plan avec

. Montrer que la droite

passe par

si, et seulement si,

.
(d) On notera

. Montrer que

passe par

en étant tangente à

si, et seulement si :

(e) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que passent deux droites tangentes à

par le point

. Une interprétation géométrique simple de la condition analytique est demandée.
(f) Déterminer alors l'ensemble des points du plan où passent deux tangentes orthogonales à la courbe

. Construire cet ensemble.

PARTIE C

Le plan euclidien étant rapporté au repère orthonormé

, on considère la courbe

dont les équations paramétriques sont :

Etude et tracé de .
(a) Donner une interprétation géométrique du paramètre réel .
(b) Montrer que possède un axe de symétrie que l'on précisera.
(c) Dresser le tableau des variations des fonctions et .
(d) Donner l'équation de l'asymptote de .
(e) Calculer les coordonnées des points où la tangente à est verticale ou horizontale.
(f) Montrer que possède un point double que l'on précisera.
(g) Quel angle forment les tangentes à au point double?
(h) Tracer .
Former une équation cartésienne de .
Donner un paramétrage en polaires de .
Calculer l'aire de la boucle formée par .
On considère la droite d'équation .
(a) Montrer que le point , de paramètre , appartient à si, et seulement si :

(b) En notant

les racines de cette équation et en utilisant:

donner la valeur de

.
(c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que trois points de

, de paramètres

, soient alignés.
6. Soit le point

. Une droite issue de

recoupe

en deux points

de paramètres respectifs

.
(a) Quel est le paramètre du point

?
(b) Quelle relation vérifient

?
(c) Que peut-on dire des droites

?
(d) Montrer que le cercle de diamètre

est tangent à l'axe

.
7. Soit

un point de paramètre

.
(a) Quelle est l'équation qui donne les paramètres des points de contact

des tangentes à

issues de

? A quelle condition sur

ces points existent-ils?
(b) La droite (

) recoupe

au point

. Quelle est, en fonction de

, le paramètre du point

?
(c) Que peut-on dire des droites