Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Le sujet est composé de 3 parties.

Les parties 2 et 3 sont indépendantes entre elles.

Première Partie

On considère la matrice

Justifier que la matrice est diagonalisable.
Déterminer les valeurs propres de .
Déterminer une matrice diagonale et une matrice orthogonale telle que . Les coefficients de la diagonale de seront classés par ordre croissant et les coefficients de la première ligne de seront tous positifs.
Démontrer que pour tout entier naturel .
En déduire en fonction de pour tout entier naturel .
Soient et trois matrices de telles que est diagonale, est orthogonale et .
La matrice est-elle symétrique?

Deuxième Partie.

Dans cette partie, on confond une matrice à une ligne et une colonne avec son unique coefficient.
Pour toute matrice

, on note

sa transposée.
L'espace vectoriel

est muni de sa structure euclidienne usuelle et de sa base canonique

. On note

le produit scalaire usuel.
La matrice

est celle qui a été définie dans la première partie et on note

l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice

.
Pour tous vecteurs

, on note

où

sont les matrices colonnes des coordonnées de

dans la base

Pour tout vecteur de , dont la matrice colonne de ses coordonnées dans la base est , on considère la matrice colonne où est la matrice déterminée dans la première partie.
(a) Démontrer que est une forme bilinéaire symétrique.
(b) Soit un vecteur de . Que représente pour le vecteur ? On sera le plus précis possible.
(c) Soit un vecteur de . Exprimer en fonction de et puis de et .
(d) En déduire que est un produit scalaire sur .
(a) Soient et deux vecteurs propres de associés à des valeurs propres distinctes. Démontrer que et sont orthogonaux pour le produit scalaire .
(b) En déduire une base orthonormée de pour le produit scalaire .

Soit

un vecteur de

. On note

son orthogonal pour le produit scalaire

celui pour le produit scalaire

.
3. Justifier que si

est un vecteur propre de

alors

.
4. (a) Donner une base de

où

est le premier vecteur de la base canonique.
(b) Déterminer une base de

.
(c) A-t-on

? Déterminer une base de

.
5. (a) Soient

deux vecteurs de

. Démontrer que si

, alors

.
(b) Démontrer que pour tous vecteurs

.
6. Soit

un vecteur non nul de

tel que

.
(a) Démontrer à l'aide de la question 5. que

.
(b) En déduire que

est orthogonal à

pour le produit scalaire

puis que

est un vecteur propre de

Troisième Partie : Jouons au golf.

Dans l'un de ses sacs de golf, Anna a rangé trois clubs de golf dont un putter.

Elle tire au hasard et sans remise un club de golf de son sac jusqu'à ce qu'elle obtienne son putter.
On note

la variable aléatoire égale au numéro du tirage où le putter a été tiré et pour

entier supérieur ou égal à 1 , on note

l'événement

Le putter a été tiré lors du

-ème tirage

.
(a) Déterminer et reconnaitre la loi de

.
(b) En déduire l'espérance et la variance de

.
2. Pour jouer, Anna a également à sa disposition un seau de balles de golf contenant 44 balles blanches et 4 balles jaunes.
Au début de chaque trou, Anna tire au hasard une balle dans le seau, note sa couleur, joue le trou puis la remet dans le seau.
Un parcours de golf comprend 18 trous.
Soit

la variable aléatoire égale au nombre de balles jaunes utilisées lors de deux parcours.
(a) Reconnaitre la loi de

. Une réponse argumentée est attendue.

Préciser

l'ensemble des valeurs prises par

ainsi que la probabilité

pour tout

.
(b) En moyenne, avec combien de balles jaunes, Anna a-t-elle joué lors des deux parcours?
3. Soit

une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre

.
(a) Pour quelle valeur de

, les variables aléatoires

ont-elle la même espérance?
(b) Donner la valeur de

et celle de

sans signe

On admet que pour la valeur de

précédente,

est une valeur approchée de

et on donne pour certaines valeurs de

, le tableau de la fonction de répartition

de la variable aléatoire

0	1	2	3	4	5	6
0.0498	0.1991	0.4232	0.6472	0.8153	0.9161	0.9665
7	8	9	10	11	12	13
0.9881	0.9962	0.9989	0.9997	0.9999	1	1

<< Anna a tiré au plus 3 balles jaunes >>
<< Anna a tiré 7 balles jaunes >>
<< Anna a tiré au moins 10 balles jaunes >>

Un autre joueur, Anthony, s'entraîne sur le premier trou du parcours.

Il réussit le par sur ce trou s'il rentre la balle dans le trou en exactement 4 coups. Il est au-dessous du par s'il rentre la balle dans le trou en 3 coups maximum et il est au-dessus du par dans les autres cas.
Anthony a constaté que : pour tout entier naturel

si lors du n-ème entraînement, il est au-dessous du par, alors lors de l'entraînement suivant, il reste au-dessous du par avec une probabilité de , il réussit le par avec une probabilité de et il est au-dessus du par avec la probabilité de .
si lors du -ème entraînement, il réussit le par, alors lors de l'entraînement suivant, il est au-dessous du par avec une probabilité de , il réussit le par avec une probabilité de et il est au-dessus du par avec la probabilité de .
si lors du -ème entraînement, il est au-dessus du par, alors lors de l'entraînement suivant, il est au-dessous du par avec la probabilité de , il réussit le par avec une probabilité de et il reste au-dessus du par avec une probabilité de . On note et les événements Anthony est au-dessous du par lors du -ème l'entraînement Anthony réussit le par lors du -ème l'entraînement >> et Anthony est au-dessus du par lors du -ème l'entraînement et et leur probabilité respective.
Lors du dernier échauffement, considéré comme l'entraînement numéro 0, Anthony réussit le par.
On a donc et .
(a) Donner les valeurs de et .
(b) Donner les valeurs des probabilités conditionnelles : et .
Chaque valeur devra être justifiée par une phrase, éventuellement extraite de l'énoncé.
(c) Etablir pour tout entier naturel que .
(d) Exprimer de même et en fonction de et . Aucune justification n'est demandée.
Pour tout entier naturel , on pose .
(e) Donner une relation entre et la matrice de la première partie.
(f) Ecrire des commandes Python permettant de calculer et d'afficher la probabilité qu'Anthony réussisse le par lors du 20-ème entraînement.
On supposera, si nécessaire, le module numpy chargé par la commande :
from numpy import *
(g) Donner sans démonstration la relation entre et .
(h) En déduire les valeurs de et en fonction de .
(i) Que valent et ?

Interpréter le résultat.
5. Un autre jour, Anthony s'entraîne à sortir une balle du bunker (zone remplie de sable). La probabilité qu'il arrive à sortir la balle du premier coup est

. Puis à cause de la fatigue, la probabilité qu'il arrive à sortir la balle du bunker à la

-ème tentative (

), sachant qu'il a échoué aux précédentes est

.
Pour tout entier naturel

non nul, on note

l'événement :

la balle sort du bunker à la

-ème tentative

et on considère la variable aléatoire

égale au numéro de la tentative où la balle sort du bunker et on convient que

prend la valeur 0 lorsque l'événement << la balle ne sort jamais du bunker >> est réalisé.
(a) Déterminer deux réels

tels que pour tout réel

(b) Soit

un entier naturel non nul. Exprimer l'événement (

) à l'aide des événements

pour des valeurs de

bien choisies.
(c) En déduire

pour tout

Cette formule est-elle valable aussi pour

?
(d) Chaque tentative pour sortir la balle du bunker prend 3 minutes. Quelle est la probabilité qu'Anthony arrive à sortir la balle du bunker en une heure ou moins?
(e) Calculer

.
(f) i. Ecrire la série génératrice

. Déterminer soigneusement son rayon de convergence.
ii. Exprimer

à l'aide des fonctions usuelles.
(g) La variable aléatoire

admet-elle une espérance?