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Epreuve de Mathématiques A
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
CONSIGNES:
- Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
- L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
- Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
- Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
- Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance
Probabilités
On étudie le processus de fonctionnement d'un appareil utilisé chaque jour dans une usine et susceptible de subir des pannes accidentelles. On fait les hypothèses suivantes:
- Le comportement de l'appareil au jour
ne dépend que de son état au jour et pas des jours précédents. - Si l'appareil fonctionne le jour
, il a une probabilité d'être en panne le jour . - Si l'appareil est en panne au jour
, il a une probabilité d'être réparé et de fonctionner le jour . - On a
et .
Formellement, si l'on appelle
- On note
.
(a) Calculeren fonction de .
(b) Plus généralement, montrer que, pour tout,
(c) En déduire une expression de
(d) Calculer
2. On suppose dans cette question que
(a) Calculer la loi de
(b) Calculer la loi du couple (
(c) Calculer l'espérance et la variance de
(d) Calculer la covariance entre
(e) Les variables
3. On suppose maintenant que l'appareil est en fonctionnement le premier jour. On note
4. On considère
(a) Quelle est la fonction génératrice de
(b) En déduire la fonction génératrice de
(c) On pose
(d) On pose
5. L'usine est équipée de deux appareils dont on suppose les comportements indépendants l'un de l'autre. On suppose que les deux appareils sont en fonctionnement le premier jour. Au bout de combien de jours en moyenne se produira la première panne?
(d) Calculer
2. On suppose dans cette question que
(a) Calculer la loi de
(b) Calculer la loi du couple (
(c) Calculer l'espérance et la variance de
(d) Calculer la covariance entre
(e) Les variables
3. On suppose maintenant que l'appareil est en fonctionnement le premier jour. On note
4. On considère
(a) Quelle est la fonction génératrice de
(b) En déduire la fonction génératrice de
(c) On pose
(d) On pose
5. L'usine est équipée de deux appareils dont on suppose les comportements indépendants l'un de l'autre. On suppose que les deux appareils sont en fonctionnement le premier jour. Au bout de combien de jours en moyenne se produira la première panne?
Algèbre linéaire
On se place dans l'espace euclidien
Dans tout le problème, si
Si
Si
Partie I
- On considère la matrice
suivante:
et on note
(a) Justifier l'existence d'une base orthonormée de
(b) Déterminer une telle base en rangeant les valeurs propres par ordre croissant. Dans la suite de cette partie, (
(c) Soit
Dans la suite de cette partie, on notera
(d) Montrer que, pour tout
(e) Calculer, pour tout
2. On considère maintenant la matrice
(a) Justifier l'existence d'une base orthonormée de
(b) Déterminer une telle base en rangeant les valeurs propres par ordre croissant. Dans la suite de cette partie, (
(c) Soit
Dans la suite de cette partie, on notera
(d) Montrer que, pour tout
(e) Calculer, pour tout
2. On considère maintenant la matrice
et
(a) Démontrer que
(b) Pour tout entier
(a) Démontrer que
(b) Pour tout entier
(c) Déterminer l'ensemble
(d) Déterminer un vecteur
(e) Calculer
(d) Déterminer un vecteur
(e) Calculer
Partie II
Soit
On suppose maintenant que les valeurs propres sont rangées dans l'ordre des valeurs absolues croissantes
Pour tout entier
- On suppose que
. Montrer que, pour tout tel que ,
- On suppose maintenant que
pour un certain
3. On suppose maintenant que
3. On suppose maintenant que
Partie III
Soit
et on note
Pour tout
Pour tout
- Montrer que pour tout
, on a . - Montrer que
. - Montrer que
. - Pour tout entier
, on note l'ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de de dimension .
(a) Montrer que si.
(b) En déduire que, si.
(c) Montrer que.
(d) Montrer que. - Soit
une matrice de taille telle que et soit l'application linéaire de dans canoniquement associée à . On pose alors et l'endomorphisme de canoniquement associé à .
(a) Montrer queest encore une matrice symétrique réelle. On note alors ses valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité et rangées dans l'ordre croissant, et ( ) une base orthonormée vecteurs propres associés.
(b) Soitdeux vecteurs de et les matrices colonnes de leurs coefficients dans la base canonique.
i. Rappeler l'expression deen fonction de et .
ii. Montrer que.
iii. On pose. Calculer .
(c) En appliquant le résultat de la question 3 à la matrice, montrer que
(d) Déduire de la question 4c que
(e) Montrer de façon similaire en utilisant maintenant la question 4 d que
(e) Montrer de façon similaire en utilisant maintenant la question 4 d que