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Banque PT Mathématiques A PT 2019

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Banque
Banque PT
Année
2019
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2019PT MathsMaths 2019
2025_08_29_88dddb20f7915ca115f1g

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'algèbre linéaire

et étant deux entiers naturels non nuls, on désigne par l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans ou . Pour , on note la transposée de la matrice . L'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans ou est noté . Pour , on note sa trace. Une matrice est dite antisymétrique si . On note l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre à coefficients dans .

Partie I

On considère dans cette partie uniquement la matrice
  1. Calculer . En déduire que n'est pas inversible.
  2. Montrer que les valeurs propres complexes de sont , et .
  3. La matrice est-elle diagonalisable dans ? dans ?
  4. Montrer que est semblable à la matrice définie par

Partie II

Dans cette partie, on munit de sa structure euclidienne usuelle.
  1. Montrer que pour tout est un espace vectoriel sur .
  2. Montrer que toute matrice est de la forme
.
3. En déduire une base de et .
4. Montrer que, pour tout .
5. Montrer que, pour tout , il existe un unique vecteur tel que soit la matrice de l'application dans la base canonique de .
6. Soit une rotation dans d'angle différent de (modulo ) et soit sa matrice dans la base canonique.
(a) Montrer que .
(b) Soit l'unique vecteur de tel que soit la matrice de l'application dans la base canonique. Montrer que .
(c) Soit tel que . Montrer que .
En déduire que l'axe de la rotation est dirigé par .
(d) On suppose que l'axe de la rotation est orienté selon et soit une mesure de l'angle de . On pose et on considère une base orthonormée directe ( ).
i. Ecrire les matrices de et de dans cette base.
ii. Ecrire la matrice de dans cette base.
iii. En déduire que puis que
(e) Idendifier l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est

Partie III

On se fixe dans cette partie un entier naturel non nul et une matrice . On note la matrice identité de .
  1. Montrer que pour toute matrice colonne et toute matrice carrée d'ordre , on a :
En déduire que .
2. Soit une matrice colonne telle que . En calculant de deux manières différentes, montrer que .
3. En déduire que est inversible.
4. Montrer que la matrice est orthogonale.
5. Calculer . En déduire que est inversible.
6. Réciproquement, soit une matrice orthogonale telle soit inversible. On considère la matrice . Montrer que l'on a
puis que la matrice est antisymétrique.

Partie IV

On se fixe dans cette partie un entier naturel non n ul et une matrice et on note l'endomorphisme de canoniquement associé à .
  1. Soit une matrice colonne de et . On suppose que . Montrer que .
  2. Montrer que .
  3. En déduire que est semblable à une matrice bloc de la forme
où est une matrice inversible.
4. Soit une valeur propre complexe de associée au vecteur propre .
Si , on note le vecteur composé des nombres complexes conjugués des coordonnées du vecteur .
En calculant de deux façons différentes , montrer que est imaginaire pur.
5. Soit un nombre complexe non nul. Montrer que est valeur propre de si et seulement si est valeur propre de .
6. En déduire que est d'ordre pair.

Exercice de Probabilités

Soit et des variables aléatoires à valeurs dans telles que
où est une constante réelle.
  1. Déterminer la valeur de .
  2. Les variables et sont-elles indépendantes?
  3. Justifier que, pour tout , nous avons
  1. Calculer .
  2. Calculer pour tout .
  3. On pose . Déterminer la loi de .
  4. Calculer les probablités suivantes:
où est un nombre rationnel positif fixé.
8. On pose . Déterminer la loi du couple ( ) en précisant dans un premier temps les valeurs possibles prises par ce couple.
Les variables et sont-elles indépendantes?
9. Calculer la loi conditionnelle de sachant .

FIN DE L'ÉPREUVE

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