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Banque PT Mathématiques A PT 2016

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionSéries entières (et Fourier)
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Banque
Banque PT
Année
2016
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2016PT MathsMaths 2016
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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème d'Algèbre linéaire

Nous noterons la base canonique de .
Dans tout le problème, nous identifierons un vecteur de l'espace vectoriel ,avec la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique
Pour une matrice de taille quelconque, , on désigne par sa transposée.
On note le produit scalaire usuel de et on rappelle que si et sont deux vecteurs de , leur produit scalaire s'écrit matriciellement . On note la norme euclidienne associée.

Partie I

On considère la matrice
  1. Pourquoi peut-on trouver une base orthonormée formée de vecteurs propres de ?
  2. Déterminer les valeurs propres de ainsi qu'une base orthonormée de vecteurs propres.
  3. La matrice est-elle inversible?
  4. Soit un vecteur de de coordonnées ( ) dans la base . Exprimer ses coordonnées ( ) dans la base .
  5. Calculer en fonction de ( ), puis en fonction de ( ).
  6. Soit la plus petite valeur propre de . Déduire de ce qui précède que, pour tout .
  7. Pour tous vecteurs de , on pose . Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .

Partie II

On considère toujours la matrice de la partie précédente et on fixe . Pour tout vecteur de , on pose
  1. Quels sont les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction ? Que vaut ?
  2. Calculer le gradient de la fonction , puis sa matrice Hessienne.
  3. En utilisant le résultat de la question 6 de la partie I, montrer que
où désigne la plus petite valeur propre de .
4. En déduire que la fonction est minorée et non majorée (on pourra étudier la fonction qui, à tout réel , associe , pour une valeur de bien choisie).
5. Montrer que : .
6. Montrer que, si , alors : .
7. En déduire que : , où désigne la boule fermée de centre l'origine et de rayon .
8. Montrer que la fonction admet un minimum global sur .
9. Montrer que cette fonction atteint son minimum global au point .

Partie III

Soit une matrice carrée d'ordre , symétrique, et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Deux vecteurs non nuls et de sont dits conjugués si .
  1. On note les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de la matrice , rangées dans l'ordre croissant : .
    (a) Justifier l'existence d'une base orthonormée telle que, pour tout .
    (b) Soit un vecteur de dont la décomposition dans la base précédente s'écrit
Exprimer en fonction des les quantités et .
(c) Montrer que pour tout vecteur de .
(d) En déduire que pour tout vecteur non nul, on a .
2. Soit une famille de vecteurs non nuls -conjugués deux à deux. Montrer que cette famille forme une base de .
3. Rappeler (sans justification) l'expression de et en fonction de et , où sont des matrices de taille quelconque (mais telles que les opérations sont bien définies) et sont des nombres réels.
4. Si est un vecteur de (que l'on identifie avec une matrice colonne), préciser la taille des matrices et (on identifiera les matrices carrées de taille 1 et les nombres réels).
5. Montrer que pour tous vecteurs de et toute matrice carrée d'ordre , on a .
6. On définit pour tout les matrices suivantes :
où désigne la matrice identité d'ordre .
(a) Montrer que les matrices sont symétriques pour .
(b) Montrer que, pour tout vecteur de , on a, pour ,
(c) En déduire que pour , on a : . (On rappelle que les sont -conjugués 2 à 2 ).
(d) En déduire que pour et .
(e) On a donc, pour tout . Pourquoi peut-on en déduire que ? Que vaut alors ?

Exercice de Probabilités

Un individu joue avec une pièce non nécessairement symétrique. On note la probabilité d'obtenir pile et on suppose seulement .
Dans un premier temps, il lance la pièce jusqu'à obtenir pour la première fois pile. On note le nombre de lancers nécessaires.
Dans un deuxième temps, il lance fois cette même pièce et on note le nombre de piles obtenus au cours de cette seconde série de lancers.
  1. Préciser la loi de , et la loi conditionnelle de sachant .
  2. Déterminer la loi du couple .
  3. On considère la fonction définie sur . Donner l'expression de la dérivée de pour tout .
    En déduire le développement en série entière de la fonction au voisinage de 0 pour entier positif.
  4. En déduire que la loi de est donnée par
  1. Soit une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre et une variable aléatoire géométrique de paramètre indépendante de . On note .
    (a) Sans calculer sa loi, calculer l'espérance de .
    (b) Pour , calculer (on pourra traiter séparément le cas ).
    (c) Calculer la variance de .
  2. En déduire que a même loi qu'un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l'une étant une variable de Bernoulli et l'autre une variable géométrique de même paramètre.
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