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Epreuve de Mathématiques A
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré
Partie I : Etude d'une projection orthogonale
Dans cette partie, on travaille dans l'espace euclidien orienté
On désigne par
- On note
la projection orthogonale sur et sa matrice dans la base canonique.
(a) Que vaut?
(b) Que vaut, pour tout?
(c) En déduire que, pour tout.
(d) Calculer.
(e) Rappeler la définition d'un vecteur propre.
(f) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de.
(g) L'endomorphismeest-il diagonalisable ?
(h) Vérifier que
- Reprendre les mêmes questions pour
, projection orthogonale sur , et déterminer sa matrice dans la base canonique (on pourra dans un premier temps exprimer en fonction de ).
Partie II : Une formule de changement de base
On considère toujours l'espace euclidien orienté
- On pose
, et on définit le vecteur de sorte que ( ) soit une base orthonormée indirecte de . Sans calculer les coordonnées de et , montrer que
- On note
la matrice de passage de la base vers la base . Après avoir rappelé ce que représentent les colonnes de , donner l'expression de . - En déduire les expression de
en fonction de et , puis celles de , en fonction de et . - Soit
un vecteur de coordonnées ( ) dans la base ( ). Son image par a pour coordonnées ( ) dans la base ( ) de . Donner l'expression de et en fonction de et .
Partie III : Projections orthogonales de l'hélice
On se place désormais dans l'espace affine euclidien orienté
On reprend les notations de la partie précédente :
- On rappelle que
est la droite vectorielle engendrée par est le plan vectoriel orthogonal à , et et sont les projections orthogonales sur et respectivement. On définit les vecteurs et comme dans la partie précédente.
(a) Montrer qu'une représentation paramétrique de la courbedans le repère ( ) est donnée par
(b) Montrer que tous les points de la courbe (
(c) Montrer que l'on peut réduire l'intervalle d'étude à
(c) Montrer que l'on peut réduire l'intervalle d'étude à
Comment se déduit alors le reste de la courbe à partir de cette restriction ?
(d) Etudier les variations de
(e) Tracer sur le document-réponse joint la courbe (
(d) Etudier les variations de
(e) Tracer sur le document-réponse joint la courbe (
Partie IV : Caractérisations des projecteurs orthogonaux
Soit
- Soit
un projecteur orthogonal. En écrivant, pour tout vecteur de , , montrer que
- Soit
un projecteur de .
(a) Montrer que
(b) Montrer que
3. Soit
3. Soit
(a) Soit
En déduire que
(b) Montrer que
4. Soit
(b) Montrer que
4. Soit
(a) Vérifier que
(b) En exprimant
(b) En exprimant
(c) Soit
Montrer que
5. Soit
(a) Montrer que, pour tous
(b) En déduire que
6. Soit
(a) Montrer que
(b) Soit
5. Soit
(a) Montrer que, pour tous
(b) En déduire que
6. Soit
(a) Montrer que
(b) Soit
En déduire que
(c) Montrer que si
(c) Montrer que si