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Banque PT Mathématiques A PT 2006

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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Banque
Banque PT
Année
2006
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2006PT MathsMaths 2006
2025_08_29_58f83941c13eb7397c67g

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Le problème est composé de 3 parties totalement indépendantes.
Pour tout entier naturel , nous notons l'ensemble des matrices carrées à coefficients réels d'ordre .
Nous identifierons dans tout ce problème un vecteur de avec la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique.

Préliminaires

  1. Rappeler la définition d'une matrice symétrique.
  2. Rappeler la définition d'une matrice orthogonale.
  3. Soient des entiers naturels strictement positifs.
Si et sont deux matrices à coefficients réels,
(a) A quelle condition sur le produit matriciel est-il possible ?
(b) Quelle est alors la taille de la matrice ?
(c) Si on note le coefficient générique de la matrice , donner son expression en fonction des coefficients des matrices et .

Partie I

Dans cette partie, on considère les matrices
et
  1. Calculer les déterminants de et .
  2. Montrer que les matrices et sont inversibles.
Calculer l'inverse de .
3. Déterminer une matrice triangulaire supérieure telle que .

Partie II

Soit et des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, de coefficients respectifs, et .
  1. A quelle condition sur les coefficients la matrice est-elle triangulaire inférieure ?
A quelle condition sur les coefficients la matrice est-elle triangulaire supérieure?
2. Nous supposerons dorénavant que est triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.
Pour tous , montrer que l'on a
  1. On considère, jusqu'à la fin de cette partie, la matrice d'ordre 3 suivante :
Montrer que est inversible.
4. On cherche maintenant une matrice triangulaire supérieure et une matrice triangulaire inférieure ayant de plus tous ses coefficients diagonaux égaux à 1, telles que .
(a) En utilisant la formule (1) pour , calculer .
(b) En exprimant ensuite , calculer pour tout .
(c) En exprimant , calculer .
(d) En exprimant , calculer .
(e) En exprimant , calculer .
(f) En raisonnant de manière analogue, déterminer les coefficients restants.
5. Calculer et .
6. En déduire la solution de l'équation

Partie III

Notons || || la norme euclidienne de . C'est à dire, si ,
Pour toute matrice , nous posons
  1. Calculer .
  2. Montrer que, pour tout , on a
  1. Soit un réel tel que
Comparer et .
4. Montrer que pour toutes matrices et de ,
  1. Soit une matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont rangés de telle sorte que
On note le -ème vecteur de la base canonique.
(a) Que vaut ?
(b) En décomposant un vecteur quelconque dans la base canonique, montrer que, pour tout ,
(c) Montrer que
  1. Soit .
    (a) Montrer que la matrice est diagonalisable.
    (b) Si est un vecteur propre de associé à la valeur propre , calculer en fonction de et de (Il peut être utile de remarquer que, pour tout vecteur colonne de , on a ).
    En déduire que toutes les valeurs propres de sont positives.
    Notons sa plus grande valeur propre.
    (c) Montrer qu'il existe une matrice diagonale et une matrice telle que
(d) En déduire qu'il existe nombres réels positifs que nous supposerons rangés par ordre croissant et vecteurs vérifiant
(e) Si , que valent et ?
(f) En décomposant un vecteur quelconque dans la base , montrer que .
7. On considère la matrice définie par
Calculer ||| .
Les 2 premières parties présentent la décomposition d'une matrice qui permet de calculer facilement l'inverse de la matrice et donc de résoudre le système linéaire numériquement. La troisième partie introduit la notion de rayon spectral d'une matrice. On peut ensuite montrer (ce n'est pas l'objet de ce problème) que la condition implique que la suite définie par
converge quand tend vers l'infini vers la solution du système linéaire
Cela permet de donner numériquement une valeur approchée de la solution de ce système en un temps beaucoup plus rapide que la méthode précédente.
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