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Banque PT Mathématiques 2B PT 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
Banque PT
Année
2004
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2004PT MathsMaths 2004
2025_08_29_23590c6c3ab55ff89a63g

* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

L'objet de ce problème est de déterminer la forme générale sur des solutions de l'équation différentielle:
où est un réel positif non entier.

I. Etude de la fonction Bêta

et étant des réels strictement positifs, on pose:
  1. Pour tout entier , on considère la fonction définie par:
On désigne par la fonction définie par : .
a. Pour tout réel strictement positif, déterminer la limite lorsque tend vers de .
b. étant un entier strictement supérieur à 1 , on introduit la fonction définie par :
si si .
Etudier les variations de ( Pour déterminer le signe de , on pourra étudier la fonction , définie sur .
c. Montrer qu'il existe un unique réel dans tel que soit maximale en .
. Montrer que .
e. Montrer que : ( on pourra par exemple étudier la fonction ).
. Tracer le graphe de sur .
2. a. Montrer que l'on peut écrire : .
b. Montrer que : .
c. Démontrer l'égalité suivante : .
3. Pour tout entier strictement supérieur à 1 , et tout réel , on pose : .
a. Par un changement de variable judicieux, montrer que : .
b. En déduire la valeur de .

II. Etude de la fonction Gamma

Soit la fonction définie par : pour .
  1. Vérifier la convergence de l'intégrale définissant .
  2. Pour tout entier , on considère la fonction définie sur .
    a. Les fonctions sont-elles continues ?
    b. Pour tout réel strictement positif, montrer que converge vers lorsque tend vers .
    c. Que vaut (1) ?
    d. Calculer, pour tout entier strictement positif , la valeur de .
  3. Pour tout réel , déterminer une relation entre et .
Montrer que cette formule permet alors de prolonger à .
En déduire que l'on peut prolonger à .
4. Soit un réel strictement positif.
a. Soit un réel strictement positif. Montrer qu'il existe un réel strictement positif tel que :
b. Montrer qu'il existe un entier tel que, pour :
c. En déduire l'existence d'un entier tel que, pour :
d. Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
e. En déduire : .

III. Equation de Bessel

On utilisera, dans cette partie, le prolongement de la fonction à introduit dans la partie II.
  1. a. étant le réel positif non entier intervenant dans ( ), soit une série entière à coefficients réels, de rayon de convergence , dépendant du réel .
    Pour dans , on pose :
On suppose que la fonction est solution de ( ) sur [, et n'est pas identiquement nulle. Montrer que, pour :
b. Donner la valeur du coefficient .
c. Quelles valeurs peut prendre ? Que peut-on déduire des valeurs de et pour la somme de la série ?
d. Montrer que est infini, et que la fonction est solution de ( ) sur .
. On suppose, dans ce qui suit, que : .
Montrer que, pour tout entier .
f. On pose, pour tout réel strictement positif .
Montrer que est aussi solution de ( ) sur .
g. Montrer que :
h. On suppose que est une base de l'espace des solutions de sur . Donner la forme générale des solutions de ( ) sur .
2. Soit une solution non identiquement nulle de l'équation de Bessel ( ) sur , pour une valeur de fixée. On considère la fonction définie pour tout réel strictement positif par :
a. Déterminer un nombre tel que, pour :
b. On suppose que . Déterminer et tracer son graphe.
L'équation de Bessel régit en particulier les vibrations des membranes circulaires, comme celles d'instruments musicaux tels que le tambour, ou la grosse caisse.
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