J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Banque PT Mathématiques 2B PT 2004

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
Logo banque-pt
🔗 Explorer
Banque
Banque PT
Année
2004
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2004PT MathsMaths 2004
2025_08_29_23590c6c3ab55ff89a63g

* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

L'objet de ce problème est de déterminer la forme générale sur des solutions de l'équation différentielle:
où est un réel positif non entier.

I. Etude de la fonction Bêta

et étant des réels strictement positifs, on pose:
  1. Pour tout entier , on considère la fonction définie par:
On désigne par la fonction définie par : .
a. Pour tout réel strictement positif, déterminer la limite lorsque tend vers de .
b. étant un entier strictement supérieur à 1 , on introduit la fonction définie par :
si si .
Etudier les variations de ( Pour déterminer le signe de , on pourra étudier la fonction , définie sur .
c. Montrer qu'il existe un unique réel dans tel que soit maximale en .
. Montrer que .
e. Montrer que : ( on pourra par exemple étudier la fonction ).
. Tracer le graphe de sur .
2. a. Montrer que l'on peut écrire : .
b. Montrer que : .
c. Démontrer l'égalité suivante : .
3. Pour tout entier strictement supérieur à 1 , et tout réel , on pose : .
a. Par un changement de variable judicieux, montrer que : .
b. En déduire la valeur de .

II. Etude de la fonction Gamma

Soit la fonction définie par : pour .
  1. Vérifier la convergence de l'intégrale définissant .
  2. Pour tout entier , on considère la fonction définie sur .
    a. Les fonctions sont-elles continues ?
    b. Pour tout réel strictement positif, montrer que converge vers lorsque tend vers .
    c. Que vaut (1) ?
    d. Calculer, pour tout entier strictement positif , la valeur de .
  3. Pour tout réel , déterminer une relation entre et .
Montrer que cette formule permet alors de prolonger à .
En déduire que l'on peut prolonger à .
4. Soit un réel strictement positif.
a. Soit un réel strictement positif. Montrer qu'il existe un réel strictement positif tel que :
b. Montrer qu'il existe un entier tel que, pour :
c. En déduire l'existence d'un entier tel que, pour :
d. Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
e. En déduire : .

III. Equation de Bessel

On utilisera, dans cette partie, le prolongement de la fonction à introduit dans la partie II.
  1. a. étant le réel positif non entier intervenant dans ( ), soit une série entière à coefficients réels, de rayon de convergence , dépendant du réel .
    Pour dans , on pose :
On suppose que la fonction est solution de ( ) sur [, et n'est pas identiquement nulle. Montrer que, pour :
b. Donner la valeur du coefficient .
c. Quelles valeurs peut prendre ? Que peut-on déduire des valeurs de et pour la somme de la série ?
d. Montrer que est infini, et que la fonction est solution de ( ) sur .
. On suppose, dans ce qui suit, que : .
Montrer que, pour tout entier .
f. On pose, pour tout réel strictement positif .
Montrer que est aussi solution de ( ) sur .
g. Montrer que :
h. On suppose que est une base de l'espace des solutions de sur . Donner la forme générale des solutions de ( ) sur .
2. Soit une solution non identiquement nulle de l'équation de Bessel ( ) sur , pour une valeur de fixée. On considère la fonction définie pour tout réel strictement positif par :
a. Déterminer un nombre tel que, pour :
b. On suppose que . Déterminer et tracer son graphe.
L'équation de Bessel régit en particulier les vibrations des membranes circulaires, comme celles d'instruments musicaux tels que le tambour, ou la grosse caisse.