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Banque PT Mathématiques 2B PT 2002

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsEquations différentielles
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Banque
Banque PT
Année
2002
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2002PT MathsMaths 2002
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* Banque filière PT 新

Epreuve de Mathématiques II-B

Durée 4 h

L'usage des machines à calculer est interdit.
Toutes les réponses seront justifiées.
La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction

Dans tout le problème, et désignent trois fonctions définies et continues sur telles que est de classe (continument dérivable) sur et vérifiant :

I. Préliminaires.

  1. Soit un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire noté , norme euclidienne associée est notée ||. Prouver que :
  1. a. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
(On pourra s'intéresser à la fonction de la variable réelle .)
b. Montrer que si et seulement si est une famille liée de .
c. En déduire que si et sont deux fonctions réelles continues sur (où est un réel strictement positif),
  1. Soit un espace vectoriel réel, une application de dans à valeurs positives ou nulles et vérifiant .
    On pose et on suppose que est un produit scalaire.
    Après avoir vérifié que est nul (où désigne l'élément nul de ), prouver que est la norme euclidienne associée à .

II. Equivalence de normes.

  1. Justifier l'existence de trois réels positifs et tels que:
  1. Soit l'espace vectoriel réel formé des fonctions réelles de classe sur s'annulant en 0 et en 1 , c'est-à-dire :
Pour tout couple de fonctions de , on pose :
a. Vérifier que est une forme linéaire sur .
b. Montrer que est un produit scalaire sur . On pose alors :
c. Montrer que est un produit scalaire sur .
3. a. Prouver, en utilisant la question , l'existence d'un réel positif tel que :
b. Prouver de même l'existence d'un réel strictement positif tel que :
  1. a. Prouver à l'aide de la question que pour toute fonction de et pour tout réel de ,
b. En déduire que :
  1. Soient et des fonctions de vérifiant . Prouver que .
  2. Soit l'espace vectoriel réel formé des fonctions réelles continues, par morceaux s'annulant en 0 et 1 , c'est à dire :
a. Après avoir rappelé la définition d'une fonction par morceaux sur , montrer que et peuvent être définies lorsque et sont éléments de .
b. Vérifier que avec si et seulement si .
On admet que et sont encore des produits scalaires sur et on continue à noter || || la norme euclidienne associée au produit scalaire ,

III. Equation de Sturm-Liouville.

On s'intéresse aux solutions de classe sur de :
vérifiant de plus
On admet dans toute la suite que les fonctions et sont choisies de telle sorte qu'il existe au moins une solution de l'équation différentielle (1) vérifiant les conditions initiales (2).
  1. Résoudre le problème posé lorsque (avec réel non nul), et (avec entier naturel non nul).
  2. On revient au cas général. Soit une solution du problème posé (c'est-à-dire vérifiant (1) et (2) ), prouver que :
En déduire que l'équation (3) admet une unique solution dans .
3. On pose, pour tout élément de et on désigne par l'unique solution de (3) dans .
a. En calculant avec , prouver que
b. Réciproquement, soit un élément de tel que . Etablir, en calculant pour tout réel , que :
est donc l'unique fonction de réalisant le minimum de sur .
4. On désigne par un sous-espace vectoriel de de dimension de base et par la projection orthogonale sur pour le produit scalaire .
a. Montrer que .
b. Prouver que si et seulement si est élément de et vérifie
c. Soit les composantes de dans la base . Montrer que ces composantes sont solutions du système :
Prouver que ce système est un système de Cramer.

IV. Approximations de la solution .

Soit un entier naturel non nul; on pose et pour tout entier naturel . De plus, pour compris entre 1 et , on désigne par la fonction définie par :
  1. a. Tracer le graphe d'une fonction et vérifier que pour tout est élément de .
    b. Soit le sous-espace de engendré par la famille .
Soit un élément de . Quelle est la valeur de ? En déduire que les fonctions forment une base de .
c. Prouver que si .
2. Dans cette question, (avec réel non nul) et .
a. Calculer pour et .
b. Calculer alors le déterminant du système (4) lorsque et retrouver que dans ce cas particulier ce système est un système de Cramer.
3. On pose .
a. Etablir l'égalité suivante, pour :
b. En déduire à l'aide d'une inégalité donnée par la question que :
c. Prouver de même que :
  1. Montrer alors que :
Quelle interprétation vous suggère cette inégalité?
Rappel :|| || est la norme euclidienne associée au produit scalaire ,

V. Appendice.

Ce problème provient de la modélisation des vibrations de cordes fixées aux deux extrémités. La recherche d'une solution sous forme de série conduit à la résolution d'un problème de Sturm-Liouville où est le déplacement vertical en un point d'abscisse et sont des caractéristiques de la corde et est liée aux forces appliquées à la corde.
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