On note la base orthonormée canonique de .
On considère les deux formes quadratiques définies dans la base par les relations:

où l'on a posé .
I. 1 Quelles sont respectivement dans la base les matrices et des formes quadratiques et ?
I. 2 Calculer .

On désigne respectivement par et les endomorphismes de définis dans la base par les matrices et .

Existe-t-il une base de dans laquelle les matrices de et sont toutes deux diagonales?
I. 3 On note le repère de considéré comme plan euclidien orienté.

Soit un réel strictement positif.
Soient et les coniques dont les équations dans le repère sont respectivement et .

Déterminer la nature, les éléments de symétrie et les asymptotes éventuelles des coniques et .

Existe-t-il une rotation de qui amène simultanément les axes de sur les axes de symétrie de et ?
I. 4 Déterminer l'unique angle de tel que la rotation de centre et d'angle transforme le repère en un repère ( ) noté dont les axes soient les axes de symétrie de .

Quelles sont les équations de et de dans ce nouveau repère ?
I. 5 On note puis le repère ( ).

Quelles sont les équations de et de dans ce repère ?
Existe-t-il une base de dans laquelle les matrices des formes quadratiques et soient toutes deux diagonales ?

Les deux parties et de cet exercice sont indépendantes.

II.A. 1 Quel est le domaine de définition de la fonction de la variable réelle définie par

II.A. 2 Quel est le domaine de définition de la fonction de la variable réelle définie par

II.A. 3 Etudier la dérivabilité de la fonction sur son domaine de définition (on énoncera avec précision le théorème utilisé).
II.A. 4 Calculer sur son domaine de définition.

En déduire la valeur de en fonction de .
II.A. 5 Pour supérieur ou égal à 1 , étudier le signe de

Pour strictement positif et inférieur ou égal à 1 , donner le signe de .
Pour strictement positif et inférieur ou égal à 1 , a-t-on l'inégalité

On désigne par et quatre constantes réelles vérifiant et .
Soit une fonction définie sur , à valeurs réelles, continue et croissante au sens large.
II.B. 1 Pour entier strictement positif, on pose .

Démontrer les inégalités :

II.B. 2 Quelles inégalités auraient pu être obtenues si avait été décroissante au sens large?
II.B. 3 En déduire en fonction de et une majoration de la valeur absolue de la différence entre l'intégrale et chacune des deux sommes finies intervenant dans les inégalités de la question II.B.1.
II.B. 4 On suppose désormais que admet une dérivée seconde sur et qu'il existe deux constantes réelles et telles que, pour tout de , on a

Etudier le signe de la dérivée seconde de la fonction définie sur par la relation

II.B. 5 En déduire les inégalités

II.B. 6 Avec les notations précédentes, on pose

Donner en fonction éventuellement de et , une majoration de

Soit une constante réelle strictement positive.
III. 1 Représenter la courbe d'équation polaire

après en avoir étudié les éventuelles branches infinies.
III. 2 Donner une équation cartésienne de : il pourra être commode d'utiliser l'angle .
III. 3 Pour décrivant l'intervalle , on associe au point de la courbe le point défini par la relation

et on note la courbe décrite par le point .
Représenter la courbe .
Comparer la direction de la tangente en à et la direction de la tangente en à .
III. 4 Au point de on associe le point défini par la relation

Quelle est la nature de la courbe décrite par ?
III. 5 On désigne désormais par la courbe fermée du plan paramétrée par obtenue en complétant la courbe , définie en III.3, par les deux relations .

Calculer l'aire de la surface de intérieure à .
Déterminer le centre d'inertie de cette surface intérieure, supposée homogène.
III. 6 A l'aide du repère canonique de on définit le champ de vecteurs par ses deux composantes

Ce champ de vecteurs dérive-t-il d'un potentiel scalaire?
Calculer la circulation de sur la courbe orientée dans le sens trigonométrique.