Les quatre exercices sont indépendants. Ils seront rédigés sur des copies distinctes regroupées dans l'une d'entre elles formant chemise.
Toutes les réponses seront justifiées.
La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction
L'utilisation des calculatrices est autorisée.
Premier exercice
On considère la fonction définie par:
Établir l'égalité:
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
2. Pour tout montrer l'inégalité: .
3. Pour montrer que est de classe sur .
En déduire que est de classe sur .
4. Pour calculer .
5. En déduire une expression de à l'aide des fonctions usuelles.
Deuxième exercice
Dans le plan affine euclidien muni du repère orthonormé on considère le point .
Déterminer la courbe lieu de l'orthocentre du triangle quand décrit le cercle de centre et de rayon 1 (On rappelle que l'orthocentre d'un triangle est le point commun aux trois hauteurs du triangle).
Montrer que peut se paramétrer par:
Pour information, sa représentation graphique est:
3. Donner l'équation de la droite ( ) passant par les deux points et de correspondant aux paramètres et .
Calculer des équations paramétriques de l'enveloppe ( ) des droites ( ) pour .
En déterminant une relation entre les coordonnées de ses points, montrer que est contenue dans une conique. Est-elle égale à cette conique?
4. Pour montrer que la droite d'équation coupe la courbe ( ) en deux points différents de l'origine, et éventuellement confondus.
Soit le point de d'abscisse ; comparer les longueurs , et .
En déduire une construction des points de .
Troisième exercice
Dans l'espace affine euclidien muni du repère orthonormé on considère:
la surface définie par l'équation cartésienne ,
pour tout les plans d'équation ,
pour tout les courbes intersection de avec les plans .
Quelle est la nature de la surface ? Est-ce une surface de révolution?
Quelle est la nature de la courbe intersection de avec un plan parallèle au plan ?
2. Montrer que l'aire du domaine intérieur à l'ellipse située dans le plan ( ) et donnée par l'équation réduite est égale à .
Calculer le volume délimité par et les plans d'équation et .
3. Soit fixé. Déterminer les équations des projections des courbes sur le plan (Oxy).
Discuter la nature de ces projections suivant ; on étudiera en particulier les cas et .
Peut-on en déduire la nature de ( )?
Peut-on ainsi savoir s'il existe des valeurs telles que ( ) soit un cercle?
4. Soit fixé. Déterminer un repère orthonormé tel que soit orthogonal au plan .
Quelle est l'équation du plan ( ) dans ce nouveau repère?
Quelle est l'équation de la surface ( ) dans ce nouveau repère?
Montrer qu'il existe des valeurs telles que la courbe ( ) soit un cercle; les déterminer.
Quatrième exercice
On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.
Soit la matrice identité et la matrice nulle.
On considère une matrice appartenant à .
Soit ; on considère l'équation dans .
En déterminer les solutions; combien y en a-t-il?
2. On note et les deux valeurs propres, distinctes ou non, de la matrice ; calculer et à l'aide des coefficients de .
En déduire que .
3. On suppose diagonalisable.
Montrer qu'il existe inversible telle que le produit est de l'une des formes suivantes:
On suppose non diagonalisable.
Montrer qu'il existe une valeur propre double et un vecteur tels que .
Montrer que est une base de .
En déduire qu'il existe inversible telle que le produit est de la forme avec .
5. Soit ; on considère l'équation avec , et .
Déterminer les solutions; combien y en a-t-il?
6. Soit ; on considère l'équation avec et .
Déterminer les solutions; combien y en a-t-il?
7. Soit ; on considère l'équation avec .
Montrer qu'il y a une infinité de solutions.
8. Soit ; on considère l'équation avec .
Déterminer les solutions (On pourra distinguer les cas et ); combien y en a-t-il?
9. Soit ; on considère l'équation .
Discuter le nombre de solutions selon la matrice .
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