Ce problème se compose de 7 parties. Les parties I et II sont totalement indépendantes des autres. Les parties III, IV, V sont liées entre-elles, mais il est possible d'admettre un résultat précédent pour poursuivre la résolution du problème. Enfin, les parties VI et VII utilisent le résultat obtenu dans la partie

Partie I

On considère un triangle , rectangle en et un point sur le segment . On note la distance la distance de à la droite ( ) et la distance de à la droite ( ). Calculer en fonction de et la longueur de l'hypoténuse du triangle.
On considère dans un plan deux couloirs perpendiculaires de 2 mètres de largeur chacun. Une barre métallique rigide (que nous supposerons sans épaisseur) glisse sur ce plan. On cherche à faire passer cette barre par les deux couloirs. Quelle est la longueur maximale de la barre qui peut passer d'un couloir à l'autre?

Partie II

Un fabriquant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume

donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Partie III

Dans toute cette partie, on considère un intervalle fermé

et une fonction

définie sur

à valeurs dans

et qui vérifie, pour tout

et tout

où

est une constante strictement inférieure à 1 .

On dit dans ce cas que la fonction est contractante sur .

Montrer que la fonction est continue sur .
Montrer que si et sont deux réels vérifiant

alors

.
3. On considère la suite

définie par récurrence

(a) Montrer que la suite

est bien définie pour tout

.
(b) Montrer que la série de terme général

converge.
(c) En déduire que la suite

converge et que sa limite appartient à

.
4. Montrer qu'il existe un unique réel

tel que

Partie IV

Dans toute cette partie, on considère un ouvert

muni de la norme euclidienne, et

une application de classe

sur

, à valeurs réelles.
On suppose qu'il existe un point

tel que

et que

.
On définit enfin une fonction

sur

à valeurs dans

par

Montrer que la fonction est de classe sur et calculer en fonction des dérivées partielles de .
Montrer qu'il existe un réel tel que la boule fermée de centre ( ) et de rayon soit incluse dans et tel que

En déduire que, pour tout et tout ,

Montrer qu'il existe un intervalle ouvert contenant tel que et tel que

Déduire des deux dernières inégalités que

Montrer que pour tout fixé, l'application est une application contractante sur .
Montrer que pour tout , il existe un unique tel que . Ce sera noté et on admet que l'application est de classe sur .
Calculer la dérivée de l'application sur . En déduire l'expression de la dérivée de en fonction des dérivées partielles de .

Partie V

Soit

deux fonctions définies sur un ouvert

et de classe

sur cet ouvert. On cherche les extrema de la fonction

restreinte à l'ensemble

. Une solution de ce problème sera appelé extremum de

lié par la relation

Soit un point de tel que et tel que .
(a) Montrer qu'il existe un ouvert de contenant et contenu dans , un intervalle de contenant et une application de classe sur tels que

(b) Montrer que si

est un extremum de

lié par la relation

, alors

vérifie

. Montrer que l'implication de la question V1b est encore vraie.

Partie VI

Trouver le triangle rectangle d'aire maximale ayant un périmètre

fixé (On pourra utiliser les résultats de la partie V).

Partie VII

On considère les sous-ensembles de

suivants :

On remarquera que

est un ensemble fermé et que

est un ensemble ouvert.

Dessiner sommairement l'ensemble .
Montrer que l'ensemble est borné.
On considère la fonction définie sur par

Montrer que

admet un maximum global et un minimum global sur

.
4. Chercher les extrema locaux de

sur

.
5. Déterminer les extrema globaux de

sur