L'objet de ce problème est l'étude des splines cubiques d'interpolation et de l'approximation des fonctions par ces splines. Il est composé d'un préliminaire et de trois parties. Le préliminaire et la première partie sont indépendants du reste du problème. Les parties II et III utilisent les mêmes notations. Il suffit toutefois d'admettre la question II5e pour pouvoir traiter la partie III.

Préliminaires

On note

l'ensemble des fonctions définies sur l'intervalle

à valeurs réelles. On rappelle que cet ensemble, muni des opérations usuelles sur les fonctions, a une structure d'espace vectoriel sur

Pour une fonction

définie sur

et un intervalle

, on note

la restriction de

à cet intervalle

Dans espace vectoriel sur , rappeler la définition d'une famille libre finie.
Parmi les trois familles de fonctions suivantes, lesquelles sont libres dans ?

Donner la dimension des sous-espaces vectoriels engendrés par ces trois familles.

Partie I

Soit

l'ensemble des fonctions

définies sur

telles que la restriction de

soit un polynôme de degré inférieur ou égal à trois, la restriction de

soit un (autre) polynôme de degré inférieur ou égal à 3 et qui sont de classe

sur l'intervalle

tout entier.

Montrer que est un espace vectoriel.
Soit

Donner une condition nécessaire et suffisante sur

pour que

appartienne à

.
3. On pose

Montrer que (

) forme une base de

.
Quelle est la dimension de

Partie II

Soit

une suite de réels strictement croissante. On note, pour tout

. On considère

l'ensemble des fonctions

de classe

sur [

] telles que la restriction de

à chaque intervalle

, pour

variant de 0 à

, est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 . On pourra noter que l'ensemble

de la partie I est du type

.
Un élément de

sera appelé fonction spline.
On note enfin

l'ensemble des fonctions splines

telles que, pour tout

Montrer que est un espace vectoriel.
Quelle est la dimension de ?
On suppose que est de dimension . Soit une base de et soit .
(a) Montrer qu'il existe un unique -uplet de réels tel que

(b) Soit

le polynôme de degré inférieur ou égal à 3 tel que

On définit alors

On pose enfin

.
Montrer que sur

est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant

.
(c) Montrer que

forme une base de

.
(d) En déduire que la dimension de

est

.
4. (a) Montrer qu'il existe un unique polynôme

de degré inférieur ou égal à 3 sur

(avec

) vérifiant

où

sont des réels fixés.
(b) Soit

réels fixés. Montrer, par récurrence sur

, qu'il existe une unique fonction spline

telle que

est un espace vectoriel.

Préciser sa dimension.
5. Soit

.
(a) Que vaut

pour

?
(b) Montrer que

(On pourra dans un premier temps exprimer la dérivée de

sur

en fonction de

.)
(c) Soit

Montrer que

est injective.

est-elle bijective?
(d) En déduire qu'il existe une unique fonction spline

qui vérifie,

Partie III

Pour toute fonction

de classe

sur

, à valeurs dans

, on pose

Soit une fonction de classe sur vérifiant .

Soit

la fonction impaire définie sur

-périodique et qui vérifie

(a) Montrer qu'il existe une suite

de nombres réels telle que

(b) Quelle est la série de Fourier de

est-elle égale à sa série de Fourier?
(c) En déduire que

(d) Montrer que si les séries à termes réels

convergent, alors la série

converge absolument et

(e) En déduire que

On rappelle que

.
2. Soit

une subdivision de

. On note

.
Soit

une fonction de classe

sur

à valeurs dans

l'unique fonction spline de

qui vérifie

(a) En considérant la fonction

définie pour tout

par

montrer que

(b) Montrer que

On pourra dans un premier temps obtenir une expression simple de

en effectuant une intégration par parties.
(c) En déduire que