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Banque PT Mathématiques 1B PT 2001

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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Banque
Banque PT
Année
2001
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2001PT MathsMaths 2001
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* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques I-B

Durée 4 h

Question préliminaire

Enoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice carrée à coefficients réels soit diagonalisable dans .

Partie I: Algorithme de Babylone

On considère les suites réelles et définies par et la formule de récurrence:
Pour tout , on pose .
  1. Déterminer l'unique matrice telle que l'on ait, pour tout , la relation: .
  2. Quelles sont les valeurs propres de ?
La matrice est-elle diagonalisable dans ?
3. Montrer que et sont strictement positifs pour tout entier .
4. Montrer que, pour tout , on a les deux inégalités:
  1. La suite a-t-elle une limite ? Quelle est cette limite ?
  2. Proposer une méthode d'approximation de à près, puis à près.

Partie II: Etude d'une réaction chimique

L'hydrogène et l'oxygène réagissent suivant la formule
En fait, cette réaction est le résultat de la combinaisons de plusieurs réactions faisant intervenir notamment les radicaux et . Pour simplifier l'étude, on suppose que seules les trois réactions suivantes ont lieu:
On suppose aussi que ces trois réactions sont simultanées et ont la même vitesse. On prend comme unité de temps la durée commune de ces trois réactions. On part à l'instant d'un seul radical , d'aucun radical , d'aucun radical , et d'un nombre illimité de molécules d'hydrogène ( ) et d'oxygène ( ).
A l'instant , il n'y a plus de radical et il a été produit un radical et un radical . On note et le nombre de radicaux et présents à l'instant .
A l'instant , on suppose que tous les radicaux qui étaient présents à l'instant ont réagi selon les trois réactions écrites. Ainsi et désignent aussi le nombre de radicaux et créés entre l'instant et l'instant .
On pose .
  1. Calculer et . Vérifier que est égal à .
  2. Déterminer l'unique matrice telle que, pour tout , on ait: .
  3. Montrer que peut être écrit, pour tout , sous la forme:
où et sont des constantes réelles.
4. Montrer que n'est pas nulle. Quel est son signe?
5. La suite admet-elle une limite? Si oui, préciser laquelle.

Partie III: Diffusion d'un gaz

Dans toute cette partie, nous considérons la matrice
  1. Nous dirons qu'une suite de matrices à coefficients réels converge vers une matrice si, pour tous et fixés, chaque suite réelle converge vers quand tend vers .
    Soit une matrice. Montrer que si converge vers , alors converge vers et converge vers .
  2. On note et .
Montrer que égale 0.
3. Sans calculer , montrer que est inversible puis démontrer la relation suivante:
  1. Calculer .
  2. Le schéma ci-dessous représente quatre réservoirs et contenant un même gaz.
Les "tuyaux" reliant les différents réservoirs schématisent en fait des membranes semi-perméables qui ne laissent passer le gaz que dans le sens indiqué par la flèche.
Après une heure de fonctionnement, on constate que la moitié du gaz initialement contenu dans est passé de à et qu'un sixième du gaz initialement contenu dans s'est écoulé dans . De même, la moitié du gaz initialement contenu dans est passé dans et un sixième du gaz initialement contenu dans s'est écoulé dans .
On introduit à l'instant un litre de gaz dans le réservoir et on laisse le système évoluer librement pendant un temps infini. La répartition du gaz dans les réservoirs a-t-elle une limite? Quelle est cette limite?

Partie IV: Un cas plus général

Dans cette partie, on fixe une base de . On convient de noter de la même façon un vecteur de et la matrice colonne à lignes associée à ce vecteur. Pour toute matrice , on note la matrice transposée. On désigne par une matrice carrée d'ordre à coefficients réels.
  1. Montrer que si est valeur propre de , alors est aussi valeur propre de .
  2. Soit un vecteur propre de associé à la valeur propre et soit un vecteur propre de associé à la valeur propre . Montrer, pour et distincts, la relation . Indication: on pourra calculer de deux façons différentes la quantité .
  3. On suppose désormais que possède valeurs propres distinctes notées et vérifiant .
    On note un vecteur propre de associé à la valeur propre et un vecteur propre de associé à cette même valeur propre.
    (a) Montrer que définit un produit scalaire sur .
    (b) Montrer que la famille est une base de .
    (c) En déduire que l'on peut choisir la famille de sorte que pour tout .
    Dans toute la suite, on supposera que ce choix a été fait.
  4. Pour tout , on définit la matrice carrée d'ordre par . Montrer que, pour , la matrice est la matrice nulle et que pour tout , on a la relation .
  5. On note la matrice identité d'ordre . Montrer les deux relations: . Indication: on rappelle que ( ) est une base de .
  6. Calculer en fonction des .
  7. Calculer .
  8. Dans quels cas la suite de matrices converge-t-elle? Calculer alors .
  9. Retrouver, à l'aide de ces résultats, certains des résultats des parties I et II.

Partie V : Etude d'une population

Une certaine espèce d'insectes se comporte de la manière suivante:
  • la moitié des insectes meurent dans leur première année,
  • chaque survivant à cette première année donne naissance à un descendant au cours de sa seconde année,
  • un quart de ces survivants atteignent la troisième année,
  • chaque insecte ayant atteint la troisième année donne naissance à un descendant au cours de cette troisième année,
  • aucun insecte ne vit plus de trois ans.
On part d'une population comportant 1000 insectes de première année, 1000 de seconde année et 1000 de troisième année. On note le nombre d'insectes respectivement de première, de seconde et de troisième année après années. Pouvez-vous étudier, à l'aide des résultats de la partie IV, l'effectif de la population quand tend vers l'infini?
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