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Banque PT Mathématiques 1A PT 2004

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GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesEquations différentielles
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Banque
Banque PT
Année
2004
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2004PT MathsMaths 2004
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* Banque filière PT **

Epreuve de Mathématiques I-A

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

Partie I
Etude d'un pendule amorti

Nous considérons un pendule plongé dans un fluide visqueux (l'air par exemple). Si désigne l'angle que fait le pendule par rapport à la verticale (orientée vers le bas), alors vérifie une équation différentielle d'ordre 2 du type :
où et sont des constantes strictement positives.
  1. Si l'on pose , vérifier que est solution du système différentiel
où est la fonction de dans définie pour tout par
  1. Résoudre l'équation .
  2. Déterminer les solutions constantes de l'équation (1).
  3. Calculer la matrice jacobienne de en un point .
  4. Calculer les valeurs propres (réelles ou complexes) de cette matrice jacobienne aux points obtenus à la question 2.
  5. Quel lien peut-on établir (dans ce cas) entre le signe de la partie réelle des valeurs propres de la matrice jacobienne et la nature des états d'équilibre du système ?

Partie II

Etude d'un système linéaire

Dans toute cette partie, on considère une matrice carrée de taille à coefficients complexes et le système différentiel linéaire
où est un vecteur colonne de .
  1. Soit un nombre complexe. Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle
  1. Soit et deux nombres complexes et un polynôme à coefficients complexes de degré . On considère l'équation différentielle
(a) Montrer qu'il existe un polynôme tel que la fonction définie pour tout réel par
soit solution de l'équation ().
(b) Déterminer le degré de en fonction de .
(c) En déduire que toute solution de l'équation différentielle () s'écrit sous la forme
où est un nombre complexe et est un polynôme à coefficients complexes de degré au plus égal à .
3. Plus généralement, si sont des nombres complexes et des polynômes à coefficients complexes, de degrés respectifs , montrer que toute solution de l'équation différentielle
s'écrit sous la forme
où est un nombre complexe et les sont des polynômes à coefficients complexes de degrés respectifs au plus égaux à .
4. On suppose que la matrice est triangulaire supérieure, n'admettant que comme valeur propre. Montrer que toute solution de l'équation (2) peut s'écrire
où les sont des vecteurs de .
5. Dans le cas général, on note les valeurs propres (complexes, non nécessairement distinctes) de .
(a) On suppose que la matrice est triangulaire supérieure. Montrer que toute solution complexe du système (2) peut s'écrire sous la forme
où les sont des vecteurs de .
(b) Montrer que, si est une matrice quelconque, les solutions sont encore de la forme précédente.
6. On suppose que toutes les valeurs propres de ont une partie réelle strictement négative.
(a) Déterminer les vecteurs de tels que .
(b) Calculer où est une solution de (2).

Partie III

Etude d'une équation différentielle non-linéaire : cas unidimensionnel

Dans toute cette partie, on considère une fonction de sur de classe telle que et . On étudie l'équation différentielle
On suppose que la fonction est telle que, pour tous réels et fixés, il existe une unique fonction solution de l'équation (3) sur et vérifiant de plus .
Dans toute la suite, on fixe un réel et désigne l'unique solution de (3) sur vérifiant .
  1. Que peut-on dire de la solution lorsque ?
  2. Montrer que si , alors la fonction ne s'annule pas sur .
  3. On définit la fonction de dans par
Montrer que la fonction est continue sur .
4. Montrer qu'il existe un tel que, pour tout ,
  1. On suppose dans cette question que .
    (a) Montrer qu'il existe un tel que, pour tout ,
(b) En déduire que, pour tout dans , on a
(c) Montrer que, pour tout ,
(d) En déduire que cette inégalité est encore vraie pour .
6. Montrer finalement que l'on a
  1. Que vaut ?

Partie IV

Etude d'une équation différentielle non-linéaire : cas multi-dimensionnel

Dans toute cette partie, on considère une application de à valeurs dans , de classe et telle que . On note la matrice jacobienne de en 0 . On suppose que la matrice est trigonalisable dans et que ses valeurs propres (non nécessairement distinctes) sont toutes strictement négatives.
On étudie le système différentiel non-linéaire
On suppose que est telle que, pour tout vecteur de , il existe une unique fonction de dans solution de (4) et vérifiant . Dans toute la suite, désigne cette fonction.
  1. On note la norme euclidienne de et le produit scalaire usuel.
On pose .
Montrer que est de classe et calculer sa dérivée en fonction de .
2. On définit l'application de dans par
et on admet que cette fonction est continue sur .
Montrer que, pour tout ,
  1. Soit l'endomorphisme canoniquement associé à . Montrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est triangulaire supérieure.
  2. Pour tout , on pose . Vérifier que est une base de .
  3. Soit . Montrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de a tous ses coefficients hors de la diagonale de valeur absolue strictement plus petite que .
  4. Soit une matrice inversible. On pose et .
    (a) Montrer que est solution de .
    (b) En reprenant le raisonnement précédent appliqué à , montrer que l'on peut choisir la matrice telle que
où
  1. En utilisant les résultats de la partie III, montrer qu'il existe tel que, si , alors
Remarque : le raisonnement précédent peut se généraliser au cas d'une matrice quelconque que l'on trigonalise dans . Une condition suffisante pour que 0 soit un point d'équilibre stable est alors que toutes les valeurs propres de soient de partie réelle strictement négative.
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