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Banque PT Mathématiques 1A PT 2001

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales à paramètresRéduction

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Banque PT PT Banque PT 2001 PT Maths Maths 2001

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Epreuve de Mathématiques I-A

Durée 4 h

L'usage des machines à calculer est interdit.

Les trois parties du problème sont indépendantes. On pourra traiter certaines questions en admettant les résultats des questions précédentes. On justifiera toutes les réponses. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

Dans tout le problème, toutes les fonctions considérées seront à valeurs réelles. On note:

l'espace vectoriel des fonctions continues de dans .
l'ensemble .
la fonction définie sur à valeurs dans donnée par:

Première partie

Pour tout

on définit la fonction

par :

Comparer et pour .

Montrer que

est continue sur

.
2. Pour

, montrer que

appartient à

Est-elle dérivable en tout point de

?
Étudier les variations et tracer sommairement le graphe de chacune des trois fonctions

et enfin

pour une valeur de

quelconque appartenant à

.
3. Déterminer la valeur des nombres

définis par les relations:

et préciser les points de

où ces valeurs sont atteintes.
4. Calculer dans l'espace euclidien

le volume limité d'une part par le plan d'équation

et d'autre part par la surface d'équation

.
5. Soit

Calculer les coefficients de Fourier de la fonction

, impaire et périodique de période

telle que:

En déduire, pour tout (

) appartenant à

, l'égalité suivante:

Deuxième partie

Pour toute

, on définit sur

la fonction

par la relation:

Montrer que est un endomorphisme de .
Pour , décomposer l'intégrale définissant en deux intégrales sur et respectivement.
En déduire que, pour toute de , la fonction est de classe sur .
Exprimer à l'aide de et de .

Préciser les valeurs

.
4. Déterminer le noyau de l'endomorphisme

. L'endomorphisme

est-il injectif?
Est-il surjectif?
5. Soit

un réel non nul.

Démontrer la proposition suivante:
si

vérifie

alors

est solution d'une équation différentielle d'ordre deux que l'on précisera.
En déduire toutes les valeurs propres et tous les sous-espaces propres de

Troisième partie

Soit

. On considère l'équation différentielle:

Soit

. On note

l'ensemble des fonctions appartenant à

du type

où

sont des fonctions polynomiales de degré

et à coefficients réels.

Dans cette question est la fonction de définie par

Résoudre l'équation différentielle (

) correspondante.
Combien de solutions vérifient

?
Combien de solutions vérifient

?
2. Soit

. Montrer que

est un sous-espace vectoriel de

stable par dérivation.
Si

, que peut-on dire de

?
3. Dans cette question

est la fonction de

définie par

Déterminer une solution de l'équation différentielle (

) appartenant à

, avec

bien choisi.
En déduire la solution générale de (

).
Combien de solutions vérifient

?
Combien de solutions vérifient

?
4. Dans cette question et les suivantes,

est une fonction quelconque de

.
Soit

une solution de l'équation (Eq) sur

.
On suppose qu'il existe

deux fonctions de classe

sur

vérifiant pour tout

les deux relations :

Calculer

.
En déduire que

, pour tout

, peut s'écrire sous la forme suivante:

où

sont deux constantes réelles quelconques.
Montrer que l'on a ainsi obtenu toutes les solutions de l'équation (Eq) sur l'intervalle

.
5. Montrer que l'équation (

) admet une solution unique

vérifiant:

Montrer que

, pour tout

, peut s'écrire sous la forme suivante:

Montrer que l'équation ( ) admet au moins une solution vérifiant:

si, et seulement si, la fonction

vérifie la condition:

. On suppose cette condition vérifiée. Soit

une telle solution. Montrer que

, pour tout

, peut s'écrire sous la forme suivante:

où l'on précisera les fonctions