Banque PT Mathématiques 1A PT 2000

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormal ( ), on considère le demi-plan ouvert d'équation . Si est une fonction définie sur un ouvert de , on appelle laplacien de et on note l'opérateur différentiel défini,quand il existe, par :

On appelle fonction harmonique sur un ouvert de une fonction définie sur et à valeurs dans telle que en tout point de .
Les deux premières parties du problème consistent en l'étude de quelques exemples de fonctions harmoniques sur le demi-plan et les deux suivantes en une caractérisation des fonctions harmoniques. Les quatre parties sont relativement indépendantes et peuvent être traitées en admettant les résultats précédents. On justifiera toutes les réponses.
On rappelle le théorème de Green-Riemann :
si est un domaine fermé et borné dont la frontière est un arc de courbe de classe orienté dans le sens direct et si et sont des fonctions de classe sur un ouvert contenant , on a :

On définit la fonction de dans par .
) Montrer que est une fonction harmonique sur .
) Déterminer toutes les applications de classe de dans telles que l'application définie par soit harmonique sur .
) Pour tout réel non nul , démontrer l'égalité :

où sgn est la fonction signe définie par

) On définit, pour tout complexe non nul, la fonction Arg de telle sorte que

Exprimer à l'aide de pour tout de .
) Soit . Calculer . On discutera selon et on notera cette limite.
Montrer que l'intégrale existe pour tout ( ) de et l'exprimer à l'aide de .

) On considère dans le plan la famille de coniques d'équation :

Étudier, suivant le paramètre réel , la nature de ces coniques.
Montrer qu'elles ont même foyers.
) Soit un point de .
Si , étudier la fonction de dans définie par

En déduire que, pour tout point de , avec , il passe exactement deux coniques de la famille . Montrer qu'elles sont de natures différentes.
Soient et les paramètres correspondants. Exprimer . et .
Que se passe-t-il pour les points où ?
) Si est un point de avec , montrer que les droites passant par et tangentes respectivement à chacun des deux coniques de la famille passant par sont orthogonales.
) On donne les fonctions et définies de dans par:
Montrer qu'elles sont harmoniques.
Soit la fonction définie de dans par

Écrire la matrice jacobienne de .
Le jacobien de peut-il s'annuler?
) Montrer que les images par des droites d'équation et , où et sont réels, appartiennent à la famille ou sont contenues dans les axes ou .
Examiner les cas particuliers.
Étudier la réciproque.
En déduire que détermine une bijection de .
) Calculer à l'aide de .
Si est harmonique sur , en déduire que est harmonique sur .

Soit ( ) un point de et un réel vérifiant . On note le disque fermé de centre ( ) et de rayon . À la fonction de classe définie sur et à valeurs dans , on associe les deux nombres:

Dans toute cette partie, ( ) est un point fixé de et est une fonction de classe définie sur et à valeurs dans .
) Pour vérifiant , établir les deux égalités :

) Montrer que la fonction est continue sur .
) Montrer que la fonction est continue sur l'intervalle ouvert . Est-elle continue à droite en ? Justifier.
) Montrer que la fonction est dérivable sur et établir la relation :

) Montrer que la fonction est dérivable sur et établir la relation :

On reprend les notations de la troisième partie et on dit que la fonction à valeurs dans possède la propriété de moyenne circulaire (respectivement de moyenne spatiale) sur si elle est de classe sur et si elle vérifie la relation (respectivement ) pour tout ( ) de et tout tel que .
) Si est harmonique sur et , montrer que la fonction est constante sur son domaine de définition.
En conclure que vérifie la propriété de moyenne circulaire sur .
) Si possède le propriété de moyenne circulaire sur , montrer qu'elle possède la propriété de moyenne spatiale sur .
) Établir la réciproque de la propriété précédente.
) Si vérifie la propriété de moyenne spatiale sur , montrer que les dérivées partielles d'ordre un de vérifient la même propriété. En déduire que la vérifie aussi.
) En supposant que vérifie la propriété de moyenne circulaire sur , démontrer l'égalité suivante pour tout ( ) de et tout vérifiant :

En déduire que est harmonique sur .