Feuille d'entraînement : Machines thermiques

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PSI 2023, Q27

   Considérons le fluide caloporteur décrivant un cycle de transformations entre la source chaude à température T_C et la source froide à température T_F.

   • Le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle (\Delta U = 0) s'écrit :

     W + Q_C + Q_F = 0 \implies -W = Q_C + Q_F

     où W est le travail algébriquement reçu par le fluide, et Q_C, Q_F sont les transferts thermiques reçus respectivement de la source chaude et de la source froide.

   • Le second principe de la thermodynamique sur un cycle (\Delta S = 0) s'écrit :

     \frac{Q_C}{T_C} + \frac{Q_F}{T_F} + S_c = 0 \quad \text{avec} \quad S_c \geqslant 0

   Le fonctionnement étant moteur, le fluide reçoit de l'énergie thermique de la source chaude (Q_C > 0) et fournit du travail mécanique au milieu extérieur (travail utile -W > 0). Le rendement thermique est défini par :

   \eta = \frac{-W}{Q_C} = \frac{Q_C + Q_F}{Q_C} = 1 + \frac{Q_F}{Q_C}

   D'après le second principe :

   \frac{Q_F}{T_F} = -\frac{Q_C}{T_C} - S_c \leqslant -\frac{Q_C}{T_C}

   Comme Q_C > 0, il vient :

   \frac{Q_F}{Q_C} \leqslant -\frac{T_F}{T_C} \implies \eta \leqslant 1 - \frac{T_F}{T_C}

   Le rendement maximal correspond au cas d'un cycle réversible (S_c = 0), appelé rendement de Carnot :

   \boxed{\eta_C = 1 - \frac{T_F}{T_C}}

   Application numérique : Avec T_C = 573\text{ K} et T_F = 287\text{ K} :

   \eta_C = 1 - \frac{287}{573} = \frac{286}{573} \approx 0{,}499 \quad (\text{soit } 49{,}9\,\%)

   Le rendement réel de la centrale est donné par \eta = 0{,}600\,\eta_C :

   \begin{aligned} \eta &= 0{,}600 \times \left(1 - \frac{287}{573}\right) = 0{,}600 \times 0{,}4991 = 0{,}299 \end{aligned}

   \boxed{\eta = 29{,}9\,\% \approx 30\,\%}

   Résultat

   $${\eta }_C=1-\frac{T_F}{T_C}$$

   $$\eta =29,9\%\approx 30\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2023, Q2

   Considérons le système \mathcal{S} décrivant un cycle au contact de deux thermostats à T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}} avec T_{\mathrm{ch}} > T_{\mathrm{fr}}. Les bilans sur un cycle s'écrivent :

   • Premier principe : \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_{\mathrm{C}} + Q_{\mathrm{F}} = 0, soit :

     W = -(Q_{\mathrm{C}} + Q_{\mathrm{F}})

   • Deuxième principe : \Delta S_{\text{cycle}} = \dfrac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{ch}}} + \dfrac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{fr}}} + S_{\text{créée}} = 0 avec S_{\text{créée}} \ge 0, soit :

     \frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{ch}}} + \frac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{fr}}} \le 0

   Dans le plan (Q_{\mathrm{F}}, Q_{\mathrm{C}}), ces relations définissent deux droites remarquables passant par l'origine :

   • La droite W = 0, d'équation Q_{\mathrm{C}} = -Q_{\mathrm{F}} (pente -1). La région au-dessus correspond à un système moteur (W < 0), et celle en dessous à un système récepteur (W > 0).

   • La droite de réversibilité (ou droite de Carnot), correspondant à une machine idéale (S_{\text{créée}} = 0) :

     Q_{\mathrm{C}} = -\frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\,Q_{\mathrm{F}}

     Puisque T_{\mathrm{ch}} > T_{\mathrm{fr}}, la pente -\dfrac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}} est strictement inférieure à -1.

   Le deuxième principe impose que tout point de fonctionnement réel se situe sous la droite de Carnot (S_{\text{créée}} \ge 0). Le demi-plan supérieur est le domaine interdit.

   Pour une machine thermique idéale, le point de fonctionnement appartient à la droite de Carnot :

   1. Moteur thermique idéal (Q_{\mathrm{F}} < 0) :

      Q_{\mathrm{C}} = -\frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\,Q_{\mathrm{F}} > 0 \quad \text{et} \quad W = -Q_{\mathrm{F}}\left(1 - \frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\right) < 0

      Le système emprunte de la chaleur à la source chaude, en rejette une partie à la source froide et fournit un travail utile au milieu extérieur (W < 0).

   2. Machine réceptrice idéale (Q_{\mathrm{F}} > 0) :

      Q_{\mathrm{C}} = -\frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\,Q_{\mathrm{F}} < 0 \quad \text{et} \quad W = -Q_{\mathrm{F}}\left(1 - \frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\right) > 0

      Le système reçoit du travail (W > 0) pour transférer de la chaleur de la source froide vers la source chaude. Deux modes d'utilisation se distinguent selon l'effet utile :

      • Machine frigorifique / climatiseur : l'effet utile est le transfert thermique extrait de la source froide (Q_{\mathrm{F}} > 0).
      • Pompe à chaleur : l'effet utile est le transfert thermique fourni à la source chaude (-Q_{\mathrm{C}} > 0).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2023, Q3

   Un cycle de Carnot est un cycle ditherme entièrement réversible, constitué de quatre transformations réversibles alternées :

   • Deux isothermes réversibles : le système reste en équilibre thermique avec le thermostat correspondant, sa température est rigoureusement uniforme et constante (T = T_{\mathrm{ch}} ou T = T_{\mathrm{fr}}). L'échange thermique s'effectue sans écart fini de température.
   • Deux adiabatiques réversibles (isentropiques) : le système est thermiquement isolé de l'extérieur (\delta Q = 0). La réversibilité implique \delta S_{\text{créée}} = 0, d'où \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T} + \delta S_{\text{créée}} = 0 : l'entropie du système reste constante (S = \text{cte}).

   Dans le cas d'un fonctionnement moteur (sens horaire dans les diagrammes d'état usuels), en adoptant les notations de la partie II (état 1 à T_{\mathrm{fr}} juste avant la compression adiabatique) :

   1. 1 \to 2 : compression adiabatique réversible (isentropique), le système s'échauffe de T_{\mathrm{fr}} à T_{\mathrm{ch}} à entropie constante (S_1 = S_2) ;
   2. 2 \to 3 : détente isotherme réversible à la température T_{\mathrm{ch}}, le système reçoit la chaleur Q_{\mathrm{ch}} > 0 et son entropie augmente de S_2 à S_3 ;
   3. 3 \to 4 : détente adiabatique réversible (isentropique), le système se refroidit de T_{\mathrm{ch}} à T_{\mathrm{fr}} à entropie constante (S_3 = S_4) ;
   4. 4 \to 1 : compression isotherme réversible à la température T_{\mathrm{fr}}, le système cède la chaleur Q_{\mathrm{fr}} < 0 et son entropie diminue de S_4 à S_1.

   Dans le diagramme entropique (T, S), les isothermes sont des segments horizontaux et les isentropiques des segments verticaux. Le cycle de Carnot est donc un rectangle.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2023, Q4

   Considérons le système \mathcal{S} au cours d'un cycle de Carnot moteur.

   Bilan d'énergie (premier principe) : L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

   \Delta U = W + Q_{\mathrm{ch}} + Q_{\mathrm{fr}} = 0

   Le travail mécanique net fourni par le moteur au milieu extérieur est donc :

   -W = Q_{\mathrm{ch}} + Q_{\mathrm{fr}}

   Bilan d'entropie (deuxième principe) : L'entropie S étant également une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

   \Delta S = S_{\text{éch}} + S_{\text{créée}} = 0

   Le cycle de Carnot étant constitué de deux isothermes réversibles aux températures des sources (T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}}) et de deux adiabatiques réversibles (sans transfert thermique), la réversibilité globale impose S_{\text{créée}} = 0. Il vient :

   \frac{Q_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{ch}}} + \frac{Q_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{fr}}} = 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{fr}}}{Q_{\mathrm{ch}}} = -\frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}

   Expression du rendement en fonctionnement moteur : Par définition, le rendement thermique \eta d'un moteur correspond au rapport de l'énergie utile fournie par le système au milieu extérieur (-W > 0) sur l'énergie thermique coûteuse absorbée à la source chaude (Q_{\mathrm{ch}} > 0) :

   \eta = \frac{-W}{Q_{\mathrm{ch}}} = \frac{Q_{\mathrm{ch}} + Q_{\mathrm{fr}}}{Q_{\mathrm{ch}}} = 1 + \frac{Q_{\mathrm{fr}}}{Q_{\mathrm{ch}}}

   En injectant la relation issue du bilan d'entropie, on obtient le rendement de Carnot :

   \boxed{\eta = 1 - \frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}}

   Résultat

   $$\eta =1-\frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie PSI 2022, Q30

   Pour un système ouvert traversé par un fluide en régime stationnaire, en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques, le premier principe s'écrit entre l'entrée e et la sortie s d'un organe :

   h_s - h_e = w_u + q

   où w_u est le travail utile massique et q le transfert thermique massique reçus par le fluide (convention récepteur).

   1. Expressions en fonction des enthalpies massiques

   • Turbine (évolution 2 \to 3) : l'évolution est adiabatique (q = 0), d'où :

     \boxed{w_{iT} = h_3 - h_2}

     En convention récepteur, w_{iT} < 0. Le travail massique récupéré par l'extérieur est |w_{iT}| = h_2 - h_3 > 0.

   • Générateur de vapeur (évolution 1 \to 2) : il n'y a pas de parties mobiles (w_u = 0), la chaleur fournie par le générateur au fluide vaut :

     \boxed{q_{GV} = h_2 - h_1}

   • Condenseur (évolution 3 \to 4) : sans transfert de travail utile (w_u = 0), le transfert thermique reçu par le fluide est q = h_4 - h_3 < 0. Le transfert thermique massique récupéré par le circuit secondaire est donc :

     \boxed{q_{\text{Cond}} = h_3 - h_4}

   2. Applications numériques D'après les valeurs obtenues à la question précédente :

   • h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
   • h_2 \approx 3\,100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
   • h_3 \approx 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
   • h_4 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

   On en déduit :

   \begin{aligned} w_{iT} &= 2\,680 - 3\,100 = \boxed{-420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}} \quad (\text{soit } |w_{iT}| = 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \text{ fourni à la turbine}) \\ q_{GV} &= 3\,100 - 420 = \boxed{2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}} \\ q_{\text{Cond}} &= 2\,680 - 420 = \boxed{2\,260\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}} \end{aligned}

   Remarque : La pompe étant isenthalpique (h_1 = h_4), on vérifie le bilan sur le cycle : |w_{iT}| + q_{\text{Cond}} = 420 + 2\,260 = 2\,680\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} = q_{GV}.

   3. Rendement de l'installation Le travail net utile fourni à l'extérieur par cycle provient uniquement de la turbine car l'évolution dans la pompe est supposée isenthalpique (w_{\text{pompe}} \approx 0). Le rendement thermique de l'installation est donc :

   \eta = \frac{|w_{iT}|}{q_{GV}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1}

   \boxed{\eta = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1}}

   Numériquement :

   \eta = \frac{420}{2\,680} \approx 0{,}157 \approx 16\,\%

   Résultat

   $$w_{iT}=h_3-h_2$$

   $$q_{GV}=h_2-h_1$$

   $$q_{\text{Cond}}=h_3-h_4$$

   $$-420\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1}$$

   $$2680\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1}$$

   $$2260\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1}$$

   $$\eta =\frac{h_2-h_3}{h_2-h_1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2020, Q1

   Pour une pompe à chaleur, l'objectif est de transférer de l'énergie thermique vers la source chaude à la température T_H. L'énergie utile est donc la chaleur reçue par l'enceinte chaude, soit -Q_H (en convention récepteur pour le fluide, Q_H < 0), et l'énergie coûteuse est le travail mécanique net reçu par le fluide, W > 0. Le coefficient de performance s'écrit :

   \mathrm{COP} = \frac{-Q_H}{W}

   Sur un cycle complet d'évolution du fluide caloporteur :

   • D'après le premier principe de la thermodynamique, l'énergie interne étant une fonction d'état :

     \Delta U = W + Q_B + Q_H = 0 \implies W = -(Q_H + Q_B)

   • D'après le second principe de la thermodynamique :

     \Delta S = \frac{Q_B}{T_B} + \frac{Q_H}{T_H} + S_c = 0 \quad \text{avec} \quad S_c \ge 0

     où S_c est l'entropie créée au cours du cycle.

   On en déduit l'inégalité de Clausius :

   \frac{Q_B}{T_B} \le -\frac{Q_H}{T_H} \implies Q_B \le -\frac{T_B}{T_H}\,Q_H

   En injectant cette relation dans l'expression du travail :

   W = -Q_H - Q_B \ge -Q_H \left(1 - \frac{T_B}{T_H}\right) = -Q_H\,\frac{T_H - T_B}{T_H}

   Puisque W > 0 et -Q_H > 0, on obtient :

   \mathrm{COP} = \frac{-Q_H}{W} \le \frac{T_H}{T_H - T_B}

   La valeur maximale du coefficient de performance est donc :

   \boxed{\mathrm{COP}_{\max} = \frac{T_H}{T_H - T_B}}

   Cette valeur maximale est atteinte sous les conditions du théorème de Carnot :

   • réversibilité interne des évolutions subies par le fluide (absence de frottements visqueux ou dissipations mécaniques) ;
   • réversibilité externe des échanges thermiques avec les sources, ce qui impose l'absence de gradient de température entre le fluide et les sources (T = T_B lors du contact avec la source froide, T = T_H lors du contact avec la source chaude). Le cycle suivi est alors un cycle réversible de Carnot (deux isothermes et deux isentropiques).

   Résultat

   $${\mathrm{COP}}_{\max }=\frac{T_H}{T_H-T_B}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2020, Q2

   En phase de déstockage, le fluide caloporteur décrit un cycle moteur ditherme au contact des sources de chaleur aux températures T_H et T_B (T_H > T_B). Il reçoit le transfert thermique Q_H > 0 de l'enceinte haute pression (source chaude), cède le transfert thermique Q_B < 0 à l'enceinte basse pression (source froide) et fournit un travail mécanique au milieu extérieur, soit -W > 0.

   L'efficacité (ou rendement) \eta de ce moteur thermique est le rapport de l'énergie utile récupérée sur l'énergie thermique consommée :

   \eta = \frac{-W}{Q_H}

   Sur un cycle complet du fluide :

   • d'après le premier principe de la thermodynamique :

     \begin{aligned} \Delta U = W + Q_H + Q_B = 0 \implies -W = Q_H + Q_B \end{aligned}

   • d'après le second principe de la thermodynamique :

     \begin{aligned} \Delta S = \frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_B}{T_B} + S_c = 0 \implies Q_B = -T_B\,\frac{Q_H}{T_H} - T_B S_c \end{aligned}

     avec S_c \geqslant 0 l'entropie créée au cours du cycle.

   En injectant l'expression de Q_B dans celle du travail :

   \begin{aligned} -W &= Q_H\left(1 - \frac{T_B}{T_H}\right) - T_B S_c \end{aligned}

   Comme Q_H > 0 et S_c \geqslant 0, on obtient l'inégalité de Carnot :

   \begin{aligned} \eta = 1 - \frac{T_B}{T_H} - \frac{T_B S_c}{Q_H} \leqslant 1 - \frac{T_B}{T_H} \end{aligned}

   La valeur maximale de l'efficacité est donc le rendement de Carnot :

   \boxed{\eta_{\max} = 1 - \frac{T_B}{T_H}}

   D'après le théorème de Carnot, cette valeur maximale est atteinte lorsque le cycle est entièrement réversible, ce qui impose :

   • l'absence d'irréversibilités internes (S_c = 0), notamment mécaniques (pas de frottements visqueux) ou d'inhomogénéités internes ;
   • la réversibilité des échanges thermiques avec les sources, c'est-à-dire que les transferts s'effectuent sans écart fini de température (échanges isothermes à T_H et à T_B) ;
   • des compressions et détentes adiabatiques réversibles (isentropiques).

   Le cycle suivi par le fluide est alors le cycle moteur de Carnot.

   Résultat

   $${\eta }_{\max }=1-\frac{T_B}{T_H}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2020, Q4

   Un cycle de Carnot ditherme entre deux sources aux températures T_B et T_H (T_H > T_B) est constitué de quatre transformations réversibles :

   • deux isothermes aux températures T_H et T_B, représentées par des segments horizontaux T = \mathrm{cte} ;
   • deux adiabatiques réversibles, donc isentropiques, représentées par des segments verticaux s = \mathrm{cte}.

   Le cycle forme ainsi un rectangle dans le diagramme (T, s) entre les températures T_B et T_H et deux entropies massiques extrêmes notées s_1 et s_2 (s_2 > s_1).

   D'après le premier principe appliqué au fluide sur un cycle fermé :

   \Delta u = w + q = 0 \implies w = -q = -\oint T\,\mathrm{d}s

   L'intégrale \oint T\,\mathrm{d}s représente l'aire algébrique délimitée par le contour :

   • Phase de stockage (pompe à chaleur) : la machine est réceptrice d'énergie mécanique, soit w > 0. Par conséquent, q = \oint T\,\mathrm{d}s < 0, ce qui impose un parcours dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique). Le fluide absorbe de la chaleur à basse température (évolution de s_1 à s_2 à T_B), subit une compression isentropique de T_B à T_H, cède de la chaleur à haute température (évolution de s_2 à s_1 à T_H), puis subit une détente isentropique de T_H à T_B.
   • Phase de déstockage (moteur thermique) : la machine fournit du travail à l'extérieur, soit w < 0. Ainsi, q = \oint T\,\mathrm{d}s > 0, ce qui impose un parcours dans le sens horaire.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2025, Q10

   Par définition, le rendement thermodynamique (ou rendement de conversion électrique) de la centrale s'écrit :

   \eta = \frac{\mathcal{P}_{\text{élec}}}{\mathcal{P}_{\text{th}}}

   D'après le descriptif de la figure 1 et le texte introductif :

   • Pour une tranche de production, la puissance électrique totale produite est :

     \mathcal{P}_{\text{élec}} = \mathcal{P}_{\text{élec, TAG}} + \mathcal{P}_{\text{élec, TAV}} = 165\text{ MW} + 230\text{ MW} = 395\text{ MW}

     (Pour les deux tranches identiques de la centrale, la puissance électrique totale vaut bien \mathcal{P}_{\text{élec, tot}} = 2 \times 395\text{ MW} = 790\text{ MW}).

   • La puissance thermique primaire injectée sous forme de gaz naturel pour une tranche est (question Q2) :

     \mathcal{P}_{\text{th}} = D_{m,\text{gn}}\,q_{\text{gn}} = 484\text{ MW}

   On en déduit l'estimation du rendement global de la centrale :

   \eta = \frac{395\text{ MW}}{484\text{ MW}} \approx 0{,}816

   \boxed{\eta \approx 82\%}

   Remarque : Si l'on s'intéresse au rendement de la seule turbine à gaz (étudiée spécifiquement dans cette partie A), on obtient :

   \eta_{\text{TAG}} = \frac{\mathcal{P}_{\text{élec, TAG}}}{\mathcal{P}_{\text{th}}} = \frac{165\text{ MW}}{484\text{ MW}} \approx 34\%

   Résultat

   $$\eta \approx 82\%$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2025, Q54

    Les effets thermoélectriques assurent une conversion directe et bidirectionnelle entre énergie thermique et énergie électrique. Au-delà de la thermométrie étudiée en partie II, ils trouvent des applications majeures réparties en deux grandes catégories :

    1. Génération d'électricité par effet Seebeck (conversion chaleur \to électricité) :

       • Récupération de chaleur fatale (valorisation énergétique) : conversion de l'énergie thermique dissipée et non exploitée (chaleur des centres de données évoquée en préambule, gaz d'échappement des moteurs thermiques, rejets industriels d'usines) en électricité, participant ainsi à l'efficacité énergétique ;
       • Générateurs autonomes en milieux extrêmes ou isolés : alimentation de capteurs autonomes (par exemple via la chaleur corporelle pour des dispositifs médicaux ou l'Internet des objets) et générateurs thermoélectriques à radioisotopes (RTG), utilisés comme source d'énergie à très longue durée de vie pour les sondes spatiales d'exploration lointaine (Voyager, Curiosity) ou les balises marines isolées.

    2. Contrôle thermique et réfrigération par effet Peltier (électricité \to flux thermique) :

       • Refroidissement à l'état solide : modules de refroidissement compacts, silencieux, exempts de fluides frigorigènes polluants et sans pièces mécaniques en mouvement (glacières portables, refroidissement de processeurs informatiques ou de photodétecteurs IR) ;
       • Régulation thermique de précision : stabilisation thermique ultra-précise et rapide de composants optoélectroniques sensibles (diodes laser de télécommunications) ou appareils de laboratoire (thermocycleurs pour amplification ADN par PCR), la simple inversion du sens du courant permettant de basculer instantanément du refroidissement au chauffage.

    Indice, stratégie et pièges de cette question