Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 MPI 2026, Q21

   D'après les lois de Snell-Descartes pour la réflexion sur les plans atomiques, la droite normale aux plans réticulaires est la bissectrice de l'angle entre le faisceau incident et le faisceau réfléchi. Cet angle total étant noté \theta, l'angle d'incidence par rapport à la normale aux plans vaut :

   i = \frac{\theta}{2}

   L'angle de glissement \theta_{\text{B}} (angle formé par le faisceau incident avec le plan réticulaire lui-même) est donc le complémentaire de i :

   \theta_{\text{B}} = \frac{\pi}{2} - i = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}

   Considérons deux rayons électroniques incidents parallèles se réfléchissant sur deux plans réticulaires consécutifs distants de a. En traçant les fronts d'onde incidents et réfléchis (perpendiculaires aux rayons), le retard géométrique du rayon pénétrant jusqu'au second plan comprend :

   • un trajet supplémentaire à l'incidence égal à a \cos i = a \cos(\theta/2) ;
   • un trajet supplémentaire après réflexion égal à a \cos i = a \cos(\theta/2).

   La différence de marche \delta entre ces deux rayons s'écrit donc :

   \delta = 2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 a \sin\theta_{\text{B}}

   \boxed{\delta = 2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}

   Pour observer un faisceau diffracté d'intensité maximale (interférences constructives entre les ondes diffusées par l'ensemble des plans du réseau), le déphasage entre deux plans successifs \Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta doit être un multiple entier de 2\pi, soit \delta = q \lambda où q \in \mathbb{N}^* désigne l'ordre d'interférence.

   On obtient ainsi la loi de Bragg sous la forme :

   \boxed{2 a \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = q \lambda \quad (q \in \mathbb{N}^*)}

   Résultat

   $$\delta =2a\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

   $$2a\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=q\lambda (q\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q38

   Considérons deux plans réticulaires successifs distants de a_c. Le premier rayon se réfléchit sur un atome A_1 du plan supérieur, et le second rayon se réfléchit sur un atome A_2 situé directement sous A_1 dans le plan inférieur.

   Traçons les surfaces d'onde passant par A_1 :

   • le front d'onde incident coupe le rayon 2 en H_1 tel que (A_1 H_1) soit perpendiculaire au rayon incident ;
   • le front d'onde réfléchi coupe le rayon 2 émergent en H_2 tel que (A_1 H_2) soit perpendiculaire au rayon réfléchi.

   En amont de la surface d'onde (A_1 H_1) et en aval de la surface d'onde (A_1 H_2), les chemins optiques des deux rayons sont identiques. La différence de marche \delta entre le rayon 2 et le rayon 1 s'écrit donc :

   \delta = (H_1 A_2) + (A_2 H_2)

   Dans le triangle rectangle A_1 H_1 A_2, l'angle \widehat{H_1 A_1 A_2} vaut \theta (angles à côtés perpendiculaires : (A_1 A_2) est perpendiculaire au plan réticulaire et (A_1 H_1) est perpendiculaire au rayon incident). On a donc :

   H_1 A_2 = A_1 A_2 \sin\theta = a_c \sin\theta

   De même, par symétrie dans le triangle rectangle A_1 H_2 A_2 :

   A_2 H_2 = a_c \sin\theta

   La différence de marche géométrique entre les deux rayons renvoyés dans la direction \theta vaut ainsi :

   \boxed{\delta = 2 a_c \sin\theta}

   Le retard de phase de l'onde 2 par rapport à l'onde 1 en tout point M d'observation à l'infini dans la direction \theta est donné par :

   \Delta\varphi(M) = \varphi_2(M) - \varphi_1(M) = \frac{2\pi}{\lambda}\delta

   soit :

   \boxed{\Delta\varphi(M) = \frac{4\pi a_c \sin\theta}{\lambda}}

   Résultat

   $$\delta =2a_c\sin \theta$$

   $$\Delta \phi (M)=\frac{4\pi a_c\sin \theta }{\lambda }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q40

   D'après l'expression établie à la question Q39, l'intensité s'écrit :

   I(\theta) = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \delta}{\lambda}\right) = 2 I_0 \left[1 + \cos\left(\frac{4\pi a_c \sin\theta}{\lambda}\right)\right]

   L'intensité est maximale (I_{\max} = 4 I_0) lorsque le cosinus vaut 1, c'est-à-dire pour des interférences constructives :

   \Delta\varphi = 2p\pi \iff \delta = p\lambda \quad \text{avec } p \in \mathbb{Z}

   Comme \delta = 2 a_c \sin\theta (d'après la question Q38) et que l'angle d'incidence rasant \theta est compris dans l'intervalle ]0, \, \pi/2], l'ordre d'interférence p est un entier strictement positif (p \in \mathbb{N}^*).

   On en déduit la loi de Bragg :

   2 a_c \sin\theta = p \lambda \iff \sin\theta = \frac{p\lambda}{2a_c}

   Les valeurs de l'angle \theta correspondant aux maxima d'intensité sont donc :

   \boxed{\theta_p = \arcsin\left(\frac{p\lambda}{2a_c}\right) \quad \text{avec } p \in \mathbb{N}^* \text{ tel que } p \le \frac{2a_c}{\lambda}}

   Détermination du paramètre de maille a_c :

   La longueur d'onde \lambda de la source de rayons X étant connue, la mesure expérimentale de l'angle \theta_p associé au maximum d'ordre p (par exemple le premier pic pour p = 1) permet d'isoler directement a_c :

   \boxed{a_c = \frac{p\lambda}{2\sin\theta_p}}

   Si l'on dispose de la mesure de plusieurs angles \theta_p pour différents ordres p, on peut tracer \sin\theta_p en fonction de p. On obtient alors une droite passant par l'origine de pente \alpha = \frac{\lambda}{2a_c}, ce qui donne une détermination plus précise : a_c = \frac{\lambda}{2\alpha}.

   Résultat

   $${\theta }_p=\arcsin \left(\frac{p\lambda }{2a_c}\right)\text{avec }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ tel que }p\le \frac{2a_c}{\lambda }$$

   $$a_c=\frac{p\lambda }{2\sin {\theta }_p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q18

   D'après la relation (6) de l'énoncé reliant le diamètre \phi de la tache d'Airy à la longueur d'onde :

   \phi = 1{,}22\,\frac{\lambda d}{R} \iff \lambda = \frac{\phi R}{1{,}22\,d}

   Les grandeurs R, d et \phi étant issues de mesurages indépendants, la formule de propagation des incertitudes composées relatives donne :

   \left(\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2 = \left(\frac{u(\phi)}{\phi}\right)^2 + \left(\frac{u(R)}{R}\right)^2 + \left(\frac{u(d)}{d}\right)^2

   On en déduit l'expression littérale de l'incertitude-type u(\lambda) :

   \boxed{u(\lambda) = \lambda \sqrt{\left(\frac{u(R)}{R}\right)^2 + \left(\frac{u(d)}{d}\right)^2 + \left(\frac{u(\phi)}{\phi}\right)^2}}

   L'écart normalisé (z-score) comparant la valeur expérimentale \lambda_{\mathrm{exp}} = 656\text{ nm} à la valeur théorique attendue \lambda_{\mathrm{att}} = 632{,}8\text{ nm} s'écrit :

   z = \frac{|\lambda_{\mathrm{exp}} - \lambda_{\mathrm{att}}|}{u(\lambda)}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   z = \frac{|656 - 632{,}8|}{49} = \frac{23{,}2}{49} \approx 0{,}47

   \boxed{z \approx 0{,}5}

   Comme z \le 2, l'écart entre la valeur expérimentale et la valeur attendue n'est pas significatif : la mesure est pleinement compatible avec la longueur d'onde de référence du laser He-Ne.

   Résultat

   $$u(\lambda )=\lambda \sqrt{{\left(\frac{u(R)}{R}\right)}^2+{\left(\frac{u(d)}{d}\right)}^2+{\left(\frac{u(\varphi )}{\varphi }\right)}^2}$$

   $$z\approx 0,5$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MPI 2026, Q22

   D'après les questions précédentes, l'impulsion de l'électron accéléré sous la tension V est p = \sqrt{2m_e e V} (Q19), ce qui lui associe une longueur d'onde de De Broglie :

   \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e e V}}

   La condition d'interférences constructives établie à la question Q21 s'écrit alors :

   2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = q\lambda = q \frac{h}{\sqrt{2m_e e V}} \quad \text{avec } q \in \mathbb{N}^*

   soit, en isolant \sqrt{V} :

   \sqrt{V} = q \, \frac{h}{2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2m_e e}}

   À angle de diffusion \theta fixé (\theta = 50^\circ), la valeur de \sqrt{V} pour laquelle on observe un faisceau diffracté intense est directement proportionnelle à l'ordre d'interférence q. L'utilisation de \sqrt{V} en abscisse permet donc d'obtenir des pics de diffraction régulièrement espacés d'un pas constant :

   \Delta(\sqrt{V}) = \frac{h}{2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2m_e e}}

   La figure 7 met en évidence une série de pics d'intensité à des abscisses approximatives :

   \sqrt{V} \in \{7{,}3 \;;\, 10{,}9 \;;\, 14{,}5 \;;\, 18{,}1 \;;\, 21{,}7\}\text{ V}^{1/2}

   L'écart moyen entre deux pics consécutifs est :

   \Delta(\sqrt{V}) \simeq 3{,}6\text{ V}^{1/2}

   (ce qui montre au passage que le premier pic observé à \sqrt{V} \simeq 7{,}3\text{ V}^{1/2} correspond à l'ordre q = 2). On en déduit l'expression du pas réticulaire a :

   a = \frac{h}{2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sqrt{2m_e e} \cdot \Delta(\sqrt{V})}

   Calculons le facteur constant :

   \begin{aligned} \sqrt{2m_e e} &= \sqrt{2 \times 9{,}1 \cdot 10^{-31} \times 1{,}6 \cdot 10^{-19}} = \sqrt{29{,}1 \cdot 10^{-50}} \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{C}^{1/2} \\ \frac{h}{\sqrt{2m_e e}} &= \frac{6{,}6 \cdot 10^{-34}}{5{,}4 \cdot 10^{-25}} \simeq 1{,}22 \cdot 10^{-9}\text{ V}^{1/2}\cdot\text{m} \end{aligned}

   Avec \cos(25^\circ) = 0{,}91 :

   a = \frac{1{,}22 \cdot 10^{-9}}{2 \times 0{,}91 \times 3{,}6} \simeq \frac{1{,}22 \cdot 10^{-9}}{6{,}55} \simeq 1{,}9 \cdot 10^{-10}\text{ m}

   Avec un seul chiffre significatif :

   \boxed{a \simeq 2 \times 10^{-10}\text{ m} = 0{,}2\text{ nm}}

   Commentaire : Cette valeur est de l'ordre de grandeur de la distance interatomique (quelques dixièmes de nanomètre, soit quelques angströms) au sein d'un cristal métallique. Cela confirme que le réseau cristallin se comporte naturellement comme un réseau de diffraction pour les ondes de matière associées aux électrons, validant de manière éclatante l'hypothèse de De Broglie.

   Résultat

   $$a\simeq 2\times 10^{-10}\text{ m}=0,2\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q34

   L'analyse de l'intensité émergente calculée par la théorie de Mie (figure 10) révèle trois caractéristiques majeures :

   • Lien avec la figure 8 (optique géométrique et caustique) : La figure 8 montrait l'existence d'une déviation minimale \Delta_m \approx 137{,}8^\circ pour cette gamme de longueurs d'onde.

     • Pour \Delta < \Delta_m, l'optique géométrique prévoit une absence totale de lumière émergente (zone d'ombre géométrique, correspondant au côté extérieur de l'arc ou bande sombre d'Alexandre). La figure 10 confirme une intensité quasi nulle pour \Delta < 137{,}5^\circ, mais celle-ci n'est pas strictement nulle : une fraction d'onde pénètre dans la région interdite par diffraction.
     • Au voisinage immédiat de \Delta_m, l'accumulation lumineuse géométrique est lissée par la diffraction en un pic d'intensité principal très marqué, décalé légèrement vers \Delta \approx 138{,}3^\circ.
   • Lien avec la photo 5 (interférences à deux ondes) : Pour \Delta > \Delta_m, la figure 8 montre que deux rayons incidents d'angles i_1 et i_2 émergent avec la même déviation. En interférant, ils donnent naissance à une modulation d'intensité macroscopique formée d'une suite de maxima et de minima (périodicité de l'ordre de 0{,}8^\circ). Ces oscillations correspondent fidèlement aux franges alternées claires et sombres des arcs surnuméraires visibles sur la photo 5.
   • Apport de la théorie de Mie (diffraction et résonances) : En plus de l'enveloppe oscillante des arcs surnuméraires, la courbe présente des fluctuations rapides à haute fréquence spatiale (structure fine ou « ripples »). Ces oscillations ne sont pas prévisibles par le modèle simplifié à deux rayons et traduisent des effets purement ondulatoires (ondes de surface, résonances morphologiques, effet tunnel optique).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q35

   D'après le théorème de Babinet, la figure de diffraction produite par un obstacle opaque de diamètre D (la goutte d'eau projetée en un disque opaque) présente la même distribution angulaire d'intensité que celle d'une ouverture circulaire de même diamètre (en dehors de l'onde incidente transmise directe).

   L'angle caractéristique sous lequel l'onde est diffractée s'écrit classiquement :

   \boxed{\theta \approx \frac{\lambda}{D}} \quad \text{ou plus précisément (rayon angulaire du disque d'Airy) :} \quad \boxed{\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}}

   Application numérique : Pour \lambda = 632\text{ nm} = 6{,}32 \cdot 10^{-7}\text{ m} et D = 0{,}6\text{ mm} = 6{,}0 \cdot 10^{-4}\text{ m} :

   \begin{aligned} \theta &= \frac{6{,}32 \cdot 10^{-7}}{6{,}0 \cdot 10^{-4}} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-3}\text{ rad} = 1{,}05 \cdot 10^{-3} \times \frac{180}{\pi} \approx 0{,}060^\circ \\ \text{ou avec le facteur } 1{,}22 : \quad \theta &= 1{,}22 \times 1{,}05 \cdot 10^{-3} \times \frac{180}{\pi} \approx 0{,}074^\circ \end{aligned}

   On retient :

   \boxed{\theta \approx 0{,}06^\circ \quad (\text{soit } 0{,}07^\circ \text{ avec le préfacteur } 1{,}22)}

   Justification de l'importance de la diffraction à l'aide de la figure 10 :

   • Sur la courbe d'intensité de la figure 10, on constate la superposition de deux échelles angulaires :

     • une enveloppe modulée à basse fréquence (les pics des arcs surnuméraires espacés d'environ 0{,}7^\circ à 0{,}8^\circ) ;
     • une structure fine très dense (oscillations rapides) dont la période angulaire est de l'ordre de 0{,}05^\circ à 0{,}07^\circ (on dénombre une quinzaine de sous-pics sur un intervalle de 1^\circ).
   • Cette échelle angulaire fine correspond exactement à l'ordre de grandeur de l'angle de diffraction \theta \approx 0{,}06^\circ\text{--}0{,}07^\circ.
   • De surcroît, la diffraction explique que de la lumière soit diffusée sous des angles de déviation inférieurs à la déviation minimale géométrique (\Delta < 137{,}5^\circ), région théoriquement interdite en optique géométrique pure.

   La prise en compte de la diffraction est donc essentielle pour modéliser précisément le profil d'intensité.

   Résultat

   $$\theta \approx \frac{\lambda }{D}$$

   $$\theta =1,22\frac{\lambda }{D}$$

   $$\theta \approx 0,06^{\circ }(\text{soit }0,07^{\circ }\text{ avec le preˊfacteur }1,22)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q2

   Le module photographique d'un smartphone est destiné à former des images dans le spectre visible, s'étendant de 400\text{ nm} à 700\text{ nm}. On choisit usuellement la longueur d'onde correspondant au maximum de sensibilité de l'œil humain de jour (vision photopique) :

   \lambda = 550\text{ nm}.

   Un point source situé à l'infini sur l'axe optique envoie une onde plane sur l'ouverture circulaire de diamètre D de l'objectif. Le phénomène de diffraction à l'infini (dans les conditions de Fraunhofer) produit, dans le plan focal image situé à la distance f' de l'objectif, la figure d'Airy dont le premier anneau sombre est repéré par le demi-angle de diffraction :

   \theta = 1,22\,\frac{\lambda}{D}.

   Dans l'approximation des petits angles, le rayon r_{\text{diff}} de la tache centrale de diffraction (disque d'Airy) sur le capteur s'écrit :

   r_{\text{diff}} = f'\,\theta = 1,22\,\frac{\lambda f'}{D}.

   En introduisant le nombre d'ouverture N = \dfrac{f'}{D}, on obtient :

   r_{\text{diff}} = 1,22\,\lambda N.

   Le diamètre correspondant vaut :

   d_{\text{diff}} = 2\,r_{\text{diff}} = 2,44\,\lambda N.

   Application numérique : avec \lambda = 550\text{ nm} = 0,55\ \mu\text{m} et N = 2,2,

   \begin{aligned} r_{\text{diff}} &= 1,22 \times 0,55\times 10^{-6} \times 2,2 \approx 1,5\times 10^{-6}\text{ m} = 1,5\ \mu\text{m}, \\ d_{\text{diff}} &= 2,44 \times 0,55\times 10^{-6} \times 2,2 \approx 3,0\times 10^{-6}\text{ m} = 3,0\ \mu\text{m}. \end{aligned}

   La taille caractéristique (diamètre du disque d'Airy) est donc :

   \boxed{d_{\text{diff}} \approx 3,0\ \mu\text{m} \quad (\text{soit un rayon } r_{\text{diff}} \approx 1,5\ \mu\text{m}).}

   Résultat

   $$d_{\text{diff}}\approx 3,0\mu \text{m}(\text{soit un rayon }{r}_{\text{diff}}\approx 1,5\mu \text{m}).$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q3

   Le capteur possède une définition native de 4000 \times 3000 pixels pour une taille de pixel physique p \approx 1,7\ \mu\mathrm{m} (question Q1).

   1. Limite optique imposée par la diffraction : D'après la question Q2, le diamètre de la tache d'Airy vaut d_{\text{diff}} \approx 3,0\ \mu\mathrm{m}. Cette tache s'étend sur une largeur supérieure à celle d'un pixel physique (d_{\text{diff}} > p).

      • En résolution 4K (3840 \times 2160), le format utilise quasiment chaque pixel physique individuellement (avec un léger recadrage au format 16:9). La taille d'un pixel d'image est donc de l'ordre de 1,7\ \mu\mathrm{m} < d_{\text{diff}} : l'image est optiquement sur-échantillonnée et la diffraction limite la résolution effective. La 4K n'apporte donc pas de gain réel de netteté par rapport à la limite de diffraction.

      • En résolution Full HD (1920 \times 1080), le nombre de pixels par ligne et par colonne est divisé par 2 par rapport à la 4K. Cela correspond à regrouper les pixels par blocs de 2 \times 2 (pixel binning ou sous-échantillonnage). La taille d'un pixel virtuel devient alors :

        p' \approx 2 \times 1,69\ \mu\mathrm{m} \approx 3,4\ \mu\mathrm{m}

        Cette dimension est en excellente adéquation avec le diamètre de la tache d'Airy (p' \approx d_{\text{diff}}), satisfaisant de façon optimale le critère de Shannon sans sous-échantillonnage perceptible.

   2. Avantages techniques et ergonomiques :

      • Qualité d'image et sensibilité : Le regroupement de 4 pixels physiques pour former un pixel Full HD permet d'augmenter le rapport signal sur bruit (SNR), particulièrement en basse luminosité.
      • Stockage et bande passante : Une image ou vidéo en Full HD contient 4 fois moins de données qu'en 4K (1920 \times 1080 \approx 2,1\ \text{Mpx} contre 3840 \times 2160 \approx 8,3\ \text{Mpx}), ce qui réduit drastiquement l'espace de stockage nécessaire et accélère les transferts.
      • Consommation et échauffement : L'enregistrement en Full HD sollicite beaucoup moins le processeur d'image (ISP), ce qui préserve l'autonomie de la batterie et limite la surchauffe du téléphone portable.

   \boxed{\text{Le choix du Full HD adapte la résolution à la limite de diffraction } (p' \approx d_{\text{diff}}), \text{ tout en réduisant le bruit, le stockage et la chauffe.}}

   Résultat

   $$\text{Le choix du Full HD adapte la reˊsolution aˋ la limite de diffraction }(p^{\prime }\approx d_{\text{diff}}),\text{ tout en reˊduisant le bruit, le stockage et la chauffe.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q8

    Pour le rayon extrême incident à la distance r = r_0 = \dfrac{R}{n} de l'axe optique (d'après la question Q4), on a :

    \sin i = \frac{r_0}{R} = \frac{1}{n} \quad \implies \quad \sin t = n \sin i = 1 \quad \implies \quad t = \frac{\pi}{2}

    En utilisant l'expression établie à la question Q5 pour la position du point d'intersection A' du rayon réfracté avec l'axe optique :

    \overline{CA'} = R \cos i + \frac{R \sin i}{\tan(t-i)}

    Puisque t = \dfrac{\pi}{2}, on a \tan(t - i) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - i\right) = \cot i = \dfrac{\cos i}{\sin i}, ce qui donne :

    \overline{CA'} = R \cos i + R \frac{\sin^2 i}{\cos i} = \frac{R}{\cos i} = \frac{nR}{\sqrt{n^2 - 1}}

    Application numérique :

    \overline{CA'} = \frac{1{,}52 \times 4{,}0}{\sqrt{1{,}52^2 - 1}} \approx 5{,}31\text{ mm}

    Le capteur est placé dans le plan focal image paraxial, à l'abscisse x = \overline{CF'} = \dfrac{nR}{n-1} \approx 11{,}7\text{ mm} (d'après la question Q6).

    Après avoir coupé l'axe optique en A', le rayon réfracté poursuit sa propagation rectiligne en faisant un angle \alpha = t - i avec l'axe optique. Dans le triangle rectangle reliant le point A', le foyer F' et le point de rencontre du rayon avec le capteur, la distance transversale d'aberration sphérique vaut :

    \text{TSA} = (\overline{CF'} - \overline{CA'}) \tan(t - i)

    Or \tan(t - i) = \cot i = \sqrt{n^2 - 1}. En remplaçant \overline{CF'} et \overline{CA'} par leurs expressions :

    \text{TSA} = \left(\frac{nR}{n-1} - \frac{nR}{\sqrt{n^2-1}}\right)\sqrt{n^2-1} = nR \left(\frac{\sqrt{n^2-1}}{n-1} - 1\right)

    Application numérique :

    \text{TSA} = 1{,}52 \times 4{,}0 \times \left(\frac{\sqrt{1{,}52^2 - 1}}{1{,}52 - 1} - 1\right) = 6{,}08 \times \left(\frac{1{,}145}{0{,}52} - 1\right) \approx 7{,}3\text{ mm}

    \boxed{\text{TSA} = nR \left(\frac{\sqrt{n^2-1}}{n-1} - 1\right) \approx 7{,}3\text{ mm}}

    Comparaisons et conclusion :

    • Taille de la tache de diffraction (question Q2) : d_{\text{diff}} \approx 3{,}0\ \mu\text{m}.
    • Dimension d'un pixel du capteur (question Q1) : p \approx 1{,}7\ \mu\text{m}.

    On constate que :

    \frac{\text{TSA}}{d_{\text{diff}}} \approx 2{,}4 \times 10^3 \quad \text{et} \quad \frac{\text{TSA}}{p} \approx 4{,}3 \times 10^3

    L'aberration géométrique sphérique est prépondérante devant la diffraction : la tache lumineuse formée sur le capteur a une dimension millimétrique, plusieurs milliers de fois supérieure à la taille d'un pixel. De plus, \text{TSA} \approx 7{,}3\text{ mm} est même supérieure à la demi-largeur du capteur (l/2 \approx 2{,}5\text{ mm}), ce qui signifie que le rayon extrême sort complètement du capteur.

    Conclusion : Une telle lentille demi-boule simple présente des aberrations géométriques rédhibitoires et n'est absolument pas adaptée à l'appareil photographique d'un smartphone. Il est indispensable d'utiliser des surfaces asphériques ou un doublet/multiplet de lentilles correctrices.

    Résultat

    $$\text{TSA}=nR\left(\frac{\sqrt{n^2-1}}{n-1}-1\right)\approx 7,3\text{ mm}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question