Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q15

   Dans le sol assimilé à un conducteur ohmique de conductivité \gamma_{\text{sol}}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

   \vec{j} = \gamma_{\text{sol}} \vec{E}

   En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q14, \vec{E} = -\dfrac{U}{c}\vec{u}_x, on a :

   \vec{j} = -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x

   Le courant circule physiquement dans le sens des potentiels décroissants, soit de l'armature de droite (à potentiel V_d = U) vers l'armature de gauche (à potentiel V_g = 0), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_x.

   On choisit d'orienter l'intensité I de l'électrode droite vers l'électrode gauche, en définissant le vecteur unitaire normal sortant de la section transverse par \vec{n} = -\vec{u}_x.

   L'intensité totale I traversant une section droite de sol de surface S = ab s'exprime par le flux du vecteur densité de courant :

   \begin{aligned} I &= \iint_{\mathcal{S}} \vec{j} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\mathcal{S}} \left( -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x \right) \cdot (-\vec{u}_x) \, \mathrm{d}S \\ &= \gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c} \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S \end{aligned}

   Comme \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = ab, on obtient :

   \boxed{I = \gamma_{\text{sol}} \frac{ab}{c} U}

   Résultat

   $$I={\gamma }_{\text{sol}}\frac{ab}{c}U$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2026, Q21

   L'ALI 1 est modélisé comme un amplificateur opérationnel idéal. Ses courants de polarisation d'entrée sont donc nuls :

   i^+ = i^- = 0

   Aucun courant ne dérivant vers la borne non-inverseuse reliée au nœud A, le courant qui traverse la résistance R traverse intégralement la résistance R_3. Ces deux dipôles sont donc en association série.

   La branche constituée de l'association série de R et R_3 est soumise à la tension constante V_0, avec la borne inférieure de R_3 reliée à la masse de référence (V = 0\text{ V}). Par la formule du diviseur de tension, le potentiel au nœud A s'écrit :

   \boxed{V_A = \frac{R_3}{R + R_3} V_0}

   L'ALI 1 possède une rétroaction négative directe (la sortie B est rebouclée sur l'entrée inverseuse). Il fonctionne donc en régime linéaire, ce qui assure l'égalité des potentiels d'entrée :

   \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V_B = V^- = V^+ = V_A

   Le potentiel au nœud B est par conséquent identique à celui du nœud A :

   \boxed{V_B = \frac{R_3}{R + R_3} V_0}

   Résultat

   $$V_A=\frac{R_3}{R+R_3}{V}_0$$

   $$V_B=\frac{R_3}{R+R_3}{V}_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2021, Q36

   L'amplificateur linéaire intégré \text{U}_0 est supposé idéal, son impédance d'entrée est infinie et le courant d'entrée sur la borne inverseuse est nul :

   i^- = 0

   Le courant traversant la résistance R est donc intégralement transmis au condensateur de capacité C. En appliquant la loi des nœuds à l'entrée inverseuse de potentiel v_c(t), ou directement la relation courant-tension du dipôle RC série relié à la masse :

   i(t) = C \frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t}

   La loi des mailles appliquée à cette branche donne :

   v_s(t) - R\, i(t) - v_c(t) = 0 \implies v_s(t) = v_c(t) + R C \frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t}

   Pendant cette phase de croissance, la sortie de l'amplificateur est au niveau haut : v_s(t) = +V_{\text{sat}}. L'équation différentielle régissant v_c(t) s'écrit alors :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t} + \frac{v_c(t)}{RC} = \frac{V_{\text{sat}}}{RC}}

   ou encore, en introduisant la constante de temps \tau = RC :

   \tau \frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t} + v_c(t) = V_{\text{sat}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{v}_c}{\mathrm{d}t}+\frac{v_c(t)}{RC}=\frac{V_{\text{sat}}}{RC}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2026, Q16

   Par définition de la résistance électrique R d'un conducteur ohmique soumis à une différence de potentiel U = V_d - V_g et traversé par un courant d'intensité I, la loi d'Ohm macroscopique s'écrit :

   U = R\,I \quad \implies \quad R = \frac{U}{I}

   En utilisant l'expression de l'intensité I = \gamma_{\text{sol}}\,\frac{ab}{c}\,U établie à la question Q15, on obtient :

   R = \frac{U}{\gamma_{\text{sol}}\,\dfrac{ab}{c}\,U}

   D'où l'expression de la résistance électrique de l'échantillon de sol :

   \boxed{R = \frac{c}{\gamma_{\text{sol}}\,ab}}

   Résultat

   $$R=\frac{c}{{\gamma }_{\text{sol}}ab}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2025, Q17

   En convention générateur, la puissance électrique \mathcal{P} délivrée par le panneau photovoltaïque s'écrit :

   \mathcal{P} = U \cdot I

   Une courbe iso-puissance correspond à l'ensemble des points de fonctionnement (U, I) pour lesquels la puissance fournie \mathcal{P} est constante. On obtient ainsi la relation mathématique :

   \boxed{I = f(U) = \frac{\mathcal{P}}{U}}

   Commentaire sur la forme :

   • Dans le quadrant où U > 0 et I > 0, cette relation correspond à une branche d'hyperbole équilatère.
   • La fonction U \mapsto \frac{\mathcal{P}}{U} est strictement décroissante et convexe.
   • Elle admet l'axe des ordonnées (U = 0) pour asymptote verticale et l'axe des abscisses (I = 0) pour asymptote horizontale.
   • Sur le graphique de la figure 3, plus la puissance \mathcal{P} est élevée (par exemple 25 W, 50 W, 75 W, 100 W), plus la branche d'hyperbole s'éloigne de l'origine des axes.

   Résultat

   $$I=f(U)=\frac{\mathcal{P}}{U}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2025, Q18

   1. Justification qualitative de l'existence d'un maximum de puissance

   Le point de fonctionnement (U, I) du circuit fermé sur la résistance R est l'intersection entre la caractéristique du panneau solaire I = f(U) en convention générateur et celle du conducteur ohmique U = R\,I (soit I = \frac{U}{R}) en convention récepteur. La puissance électrique reçue par le résistor est :

   \mathcal{P} = U\,I = R\,I^2 = \frac{U^2}{R}

   • Dans la limite d'un court-circuit (R \to 0), la tension s'annule (U \to 0) tandis que le courant atteint le courant de court-circuit I_{\mathrm{cc}} \approx 5{,}3\,\mathrm{A} ; la puissance fournie tend vers zéro :

     \lim_{R \to 0} \mathcal{P}(R) = 0

   • Dans la limite d'un circuit ouvert (R \to +\infty), le courant s'annule (I \to 0) tandis que la tension atteint la tension à vide U_{\mathrm{co}} \approx 22\,\mathrm{V} ; la puissance fournie tend également vers zéro :

     \lim_{R \to +\infty} \mathcal{P}(R) = 0

   La fonction \mathcal{P}(R) étant continue, strictement positive sur ]0, +\infty[ et nulle aux deux bornes, elle admet nécessairement au moins un maximum en une valeur particulière R^\star \in ]0, +\infty[.

   2. Détermination graphique de \mathcal{P}_{\max} et de R^\star pour une irradiance de 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2}

   Sur la figure 3, les courbes iso-puissance sont espacées de 5\,\mathrm{W}. La caractéristique pour 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2} est tangente à la deuxième courbe iso-puissance située au-dessus de la ligne repérée 75\,\mathrm{W}, soit la courbe :

   \mathcal{P} = 75 + 2 \times 5 = 85\,\mathrm{W}

   La puissance maximale délivrée par le panneau vaut donc :

   \boxed{\mathcal{P}_{\max} = 85\text{ W}}

   Au point de tangence (point de fonctionnement à puissance maximale), on lit les coordonnées :

   U^\star \approx 17\text{ V} \quad \text{et} \quad I^\star \approx 5{,}0\text{ A}

   On en déduit la résistance optimale correspondante :

   R^\star = \frac{U^\star}{I^\star} = \frac{17}{5{,}0} = 3{,}4\,\Omega

   \boxed{R^\star \approx 3{,}4\text{ }\Omega}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\max }=85\text{ W}$$

   $$R^{\star }\approx 3,4\Omega$$

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7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2025, Q19

   Le rendement énergétique \eta du panneau photovoltaïque est défini comme le rapport entre la puissance électrique maximale \mathcal{P}_{\max} fournie par le panneau et la puissance radiative totale \mathcal{P}_{\text{inc}} du rayonnement solaire incident intercepté par la surface active du panneau :

   \eta = \frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\text{inc}}}

   La puissance solaire incidente s'exprime en fonction de l'irradiance (flux solaire surfacique) \Pi = 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2} = 1{,}0\cdot 10^3\,\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} et de la surface totale S_{\text{tot}} occupée par les N = 36 cellules carrées de côté c :

   S_{\text{tot}} = N\,c^2 \quad \implies \quad \mathcal{P}_{\text{inc}} = \Pi \, N\,c^2

   D'après la question Q18, pour \Pi = 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2}, la puissance maximale fournie vaut \mathcal{P}_{\max} \approx 85\,\mathrm{W}.

   En utilisant l'approximation numérique suggérée par l'énoncé, c \approx \frac{1}{8}\,\mathrm{m} :

   S_{\text{tot}} \approx 36 \times \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{36}{64}\,\mathrm{m}^2 = \frac{9}{16}\,\mathrm{m}^2 = 0{,}5625\,\mathrm{m}^2

   La puissance solaire incidente est donc :

   \mathcal{P}_{\text{inc}} = 1{,}0\cdot 10^3 \times \frac{9}{16} = 562{,}5\,\mathrm{W}

   Le rendement vaut ainsi :

   \begin{aligned} \eta &= \frac{85}{562{,}5} = \frac{85 \times 16}{9000} = \frac{1360}{9000} \approx 0{,}151 \end{aligned}

   \boxed{\eta \approx 15\,\%}

   Comparaison aux données de l'énoncé :
   Le panneau étudié comporte des cellules en silicium polycristallin, dont la plage de rendement typique fournie dans le tableau de début de partie est [13\,\% - 18\,\%]. La valeur obtenue, voisine de 15\,\%, se situe précisément au cœur de cet intervalle, ce qui confirme la cohérence du résultat.

   Résultat

   $$\eta \approx 15\%$$

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8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2024, Q30

   Notons V_+ le potentiel de l'entrée non-inverseuse de l'ALI \text{n}^\circ 1.

   L'ALI étant supposé idéal (d'après la question Q28), le courant d'entrée sur la borne non-inverseuse est nul :

   i_+ = 0

   L'entrée non-inverseuse est reliée :

   • au potentiel u_1(t) à travers la résistance R_1 ;
   • au potentiel de sortie u_2(t) à travers la résistance R_2.

   D'après le théorème de Millman appliqué au nœud correspondant à l'entrée non-inverseuse :

   V_+ = \frac{\dfrac{u_1(t)}{R_1} + \dfrac{u_2(t)}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}}

   En multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit R_1 R_2, on obtient :

   \boxed{V_+ = \frac{R_2 u_1(t) + R_1 u_2(t)}{R_1 + R_2}}

   Résultat

   $$V_{+}=\frac{R_2{u}_1(t)+R_1{u}_2(t)}{R_1+R_2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2023, Q34

   L'alternateur, présentant un comportement inductif, peut être modélisé par une inductance propre L (associée à ses enroulements). Par ailleurs, la ligne de transmission présente un caractère capacitif de capacité C qui, d'après la question 32, se ramène au primaire sous la forme d'une capacité équivalente :

   C_e = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 C

   La rotation de l'alternateur à la vitesse angulaire \omega engendre une force électromotrice de pulsation \omega. L'association de l'inductance L et de la capacité C_e constitue un oscillateur électrique de pulsation propre :

   \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C_e}}

   Lorsque la vitesse de rotation \omega varie et s'approche de cette pulsation propre (\omega \approx \omega_0), il se produit un phénomène de résonance électrique.

   Si la résistance est négligeable, le circuit n'est quasiment plus amorti (facteur de qualité Q \to \infty) :

   • les grandeurs électriques (intensité du courant et tension) atteignent des amplitudes considérables (phénomènes de surintensité et de surtension) ;
   • ces surtensions et surintensités peuvent provoquer le claquage diélectrique des isolants ou la destruction thermique des bobinages de l'alternateur et du transformateur.

   \boxed{\text{Il peut se produire un phénomène de résonance électrique (avec fortes surtensions et surintensités).}}

   Résultat

   $$\text{Il peut se produire un pheˊnomeˋne de reˊsonance eˊlectrique (avec fortes surtensions et surintensiteˊs).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique A PT 2023, Q39

    D'après la question 38, l'équation différentielle du mouvement s'écrit :

    \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2} + 2\lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 Z = 0

    L'équation caractéristique associée à cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est :

    r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2 = 0

    Le discriminant réduit de ce trinôme vaut :

    \Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2

    Le régime critique marque la transition entre le régime apériodique (\Delta' > 0) et le régime pseudo-périodique (\Delta' < 0). Il correspond à un discriminant nul, soit :

    \Delta' = 0 \iff \lambda^2 = \omega_0^2

    Puisque le coefficient d'amortissement \lambda et la pulsation propre \omega_0 sont des grandeurs positives, la valeur critique est :

    \boxed{\lambda = \omega_0}

    L'équation caractéristique admet alors une racine double réelle négative :

    r_0 = -\lambda = -\omega_0

    La forme générale de la solution Z(t) en régime critique s'écrit donc :

    \boxed{Z(t) = (A + B t)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t}}

    où A et B sont deux constantes réelles déterminées par les conditions initiales.

    Résultat

    $$\lambda ={\omega }_0$$

    $$Z(t)=(A+Bt){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question