X ENS Physique PSI 2009Sujet et corrigé

Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI

Épreuve de Physique

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I) Propagation des ondes électromagnétiques

A) Propagation dans un câble coaxial sans pertes

1. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide et en déduire les équations de propagation du champ électrique et du champ magnétique. Déterminer la relation que doivent vérifier k et ω pour les solutions progressives sinusoïdales E⃗_– = E⃗_–_0 e^(j(ωt − kz)).
2. On désire maintenant étudier la propagation dans un câble coaxial. Le câble est constitué de deux cylindres réalisés en conducteur que l'on considérera parfait. Le milieu entre les conducteurs est assimilé au vide. On cherche une solution du problème sous la forme E⃗_– = E_0(r_0)/re^(j(ωt − kz))u_r^(→−) et B⃗_– = (E_0)/c(r_0)/re^(j(ωt − kz))u_θ^(→−), avec k = ω/c.
   Cette solution vérifie-t-elle les conditions aux limites imposées par les conducteurs?
   Ces champs vérifient-ils le théorème de Gauss pour une surface de Gauss cylindrique d'axe Oz ?
   Ces champs vérifient-ils le théorème d'Ampère pour un contour d'Ampère circulaire d'axe Oz ?
   Commenter ces résultats.
   

   

   
   

   

3. On fait intervenir l'intensité du courant électrique parcourant le conducteur intérieur i(z, t) et la tension entre le conducteur intérieur et le conducteur extérieur u(z, t). On pose i_– = αE_0 e^(j(ωt − kz)), déterminer α. On admettra que u_– = √((μ_0)/(ε_0))i_–. Quelle équation aux dérivées partielles est vérifiée par l'intensité et la tension?
4. On désire représenter la propagation des grandeurs électromagnétiques dans le câble par une ligne à constantes réparties. Une tranche d'épaisseur dz du câble est représentée comme un circuit électrocinétique. Ce circuit obéit aux lois des circuits électrocinétiques linéaires. Une fois ces lois utilisées, on passe à la limite dz → 0.
   

   

Montrer que la représentation du problème sous la forme d'une ligne à constantes réparties permet d'obtenir la même solution qu'à la question précédente si certaines conditions sont vérifiées par les paramètres Λ inductance par unité de longueur et Γ capacité par unité de longueur. On exprimera Λ, Γ en fonction de ε_0, μ_0.
5) La valeur efficace de l'intensité de l'onde progressive sinusoïdale i_– = √2I_0 e^(j(ωt − kz)) est notée I_0 = |i_–|_(efficace). Calculer la puissance moyenne transmise dans le câble à l'abscisse x, P_(EM_L), en fonction de Λ, Γ, I_0. Dans quelle direction est transmise la puissance?
6) Calculer l'énergie moyenne par unité de longueur de la ligne lors de la propagation de l'onde progressive sinusoïdale w_(EM_L). Que représente la grandeur (P_(EM_L))/(w_(EM_L)) ?
7) On désire reproduire à l'aide de composants discrets un circuit dont les tensions et les intensités ont approximativement les mêmes valeurs dans l'espace et dans le temps. On réalise des cellules de base composées d'une inductance et d'un condensateur. Chacune de ces cellules est de longueur a. On les place en chaîne comme sur le schéma.

B) Atténuation et amplification des ondes électromagnétiques

9. Pour prendre en compte les pertes énergétiques lors de la propagation, on complète la représentation de la ligne à constantes réparties. Montrer que les ondes sinusoïdales progressives sont atténuées si Υ > 0.
   

   

10. On construit, en respectant les conditions du 7) la ligne composée du circuit de base avec un amplificateur opérationnel idéal parfait fonctionnant en régime linéaire. Montrer qu'une onde progressive sinusoïdale amplifiée peut se propager dans cette ligne u_n_– = U_0 e^(z/(ℓ_c))e^(j(ωt − kna)), ℓ_c≫(2π)/k≫a.
    

    

11. Connaissez-vous des dispositifs où l'on utilise une amplification pour des ondes électromagnétiques de longueur d'onde proche du micromètre?
12. On désire obtenir un milieu continu permettant la propagation d'une onde amplifiée. En utilisant le modèle de la ligne à constantes réparties, déterminer l'équation différentielle vérifiée par la tension. On fera intervenir les paramètres c et ℓ_c.
13. En supposant la tension proportionnelle au champ électrique, en déduire une relation constitutive du milieu continu que l'on supposera linéaire et non chargé (c'est-à-dire une relation à ajouter aux équations de Maxwell pour obtenir le résultat escompté).

C) Réalisation d'un milieu paradoxal

14. On construit, en respectant les conditions du 7) la ligne composée d'amplificateurs opérationnels idéaux parfaits fonctionnant en régime linéaire. Montrer qu'une onde progressive sinusoïdale peut se propager dans cette ligne u_n_– = U_0 e^(j(ωt − kna)), (2π)/k≫a.
    

    

15. Quelles sont les conditions permettant d'utiliser le modèle de ligne à constantes réparties pour le système précédent? On exprimera Λ et Γ en fonction de L, C, a, R.
    

    

16. La valeur efficace de l'intensité de l'onde progressive sinusoïdale i_– = √2I_0 e^(j(ωt − kz)) est notée I_0 = |i|_(efficace). Calculer la puissance moyenne transmise dans le câble à l'abscisse x, P_(EM_L), en fonction de Λ, Γ, I_0. Dans quelle direction est transmise la puissance?
17. En utilisant la partie I)A), vérifier que les équations de Maxwell pour lesquelles ε = − ε_0, μ = − μ_0 sont compatibles avec le modèle de ligne à constantes réparties précédent.
18. Montrer que, pour une onde plane progressive sinusoïdale E⃗_– = E⃗_–_0 e^(j(ωt − kz)), on obtient une transmission de la puissance dans le sens opposé à la vitesse de phase. On appelle ces milieux, des milieux d'indice négatif !

II) Diffusion thermique

A) Modèle électrique de la diffusion thermique

19. On considère un tube cylindrique de section Σ dont les parois latérales sont calorifugées. Le cylindre est rempli d'un matériau de conductivité thermique κ = 11 W/m/K avec j_(th) = − κ(∂T)/(∂z) et de capacité thermique volumique c_(th) = 3, 8 kJ/m^3/K. On note P_(th)(z, t) la puissance thermique traversant une section du tube dans la direction des z croissants. Etablir l'équation de la chaleur, équation aux dérivées partielles concernant la température.

Parois calorifugées

20. On construit un circuit thermique, basé sur une analogie entre les lois de la thermique et les lois de l'électrocinétique. La tension est remplacée par la température et l'intensité du courant électrique est remplacée par la puissance thermique. Retrouver, à partir de la ligne thermique à constantes réparties l'équation de la chaleur obtenue à la question précédente.
    

    

21. A quelle condition, sur le spectre de la température, peut-on, comme dans la partie I), utiliser une modélisation discrète du problème de thermique? Déterminer la résistance thermique R_(th) et la capacité thermique C_(th).
    

    

B) Effet thermique en haute fréquence

L'étude des transferts thermiques dans les circuits intégrés de petites dimensions en haute fréquence donne des résultats surprenants !
22) Quand la fréquence maximum du spectre de la température est assez élevée, les mesures de température donnent, en fait, le modèle suivant pour le tube cylindrique avec T_n(t) − T_(in)(t) = L_(th)(dP_(th))/(dt).

III) Machine frigorifique

A) La représentation de la machine frigorifique

Dans toute cette partie, on considère le régime permanent. Pour maintenir constante la température d'un système, on lui adjoint une machine frigorifique qui retirera la puissance thermique produite par le système P_(thF) > 0.
25) On donne une représentation électrique de la machine frigorifique et des échangeurs thermiques la reliant aux sources chaude et froide T_C > T_F. L'utilisateur de la machine peut régler l'écart de température ΔT_0. Le fonctionnement de la machine requiert un apport de puissance non thermique P_W. La machine frigorifique est décomposée en une machine réversible, à l'intérieur de laquelle aucune entropie n'est créée, associée aux résistances R_0 thermiques des échangeurs.

B) Réalisation de micromachines thermiques

On place plusieurs de ces machines thermiques les unes à la suite des autres. On considère que ces micromachines thermiques sont suffisamment petites pour utiliser une représentation de ligne à constantes réparties. La longueur totale de l'ensemble est d. La température se met sous la forme T(z). On pourra poser d_c = (dT_F)/(P_(thF)2R_0). On a toujours (T_C)/(T_F) = θ = 1, 2 et (P_(th F)2R_0)/(T_F) = β = 0, 1 pour les applications numériques.

32) En utilisant une loi des nœuds, déterminer une relation entre les puissances sous forme d'équation différentielle. Que représente physiquement cette loi des nœuds?
33) Trouver une relation entre (dT(z))/(dz), P_(th)(z).
34) En appliquant le second principe à la partie réversible de la machine, montrer que − d/(dz)((P_(th)(z))/(T(z))) + 2(R_0)/d ⋅ ((P_(th)(z))/(T(z)))^2 = 0.
35) On a toujours la température à l'extrémité z = 0 égale à T_F et la puissance thermique retirée à l'extrémité du tube égale P_(th)(0) = P_(thF). Trouver une relation entre la température et la pression sous la forme T(z) = P_(th)(z)(C_1 + C_2 z).
36) La température à l'autre extrémité vaut T_C = T(z = d). Déterminer la puissance fournie à la source chaude P_(th)(d) = P_(thc). Exprimer P_(thc) en fonction de P_(thF), β, θ.
37) On définit la puissance non thermique totale fournie à la ligne de machines P_W^′ = ∫_0^d P_(LW)dz. Calculer le rapport (P_W^′)/(P_(thF)). Calculer numériquement l'efficacité et la comparer avec celles précédemment calculées. Commenter ce résultat.
38) Déterminer le profil de température dans la ligne avec ΔT_(L0) uniforme. La température à l'autre extrémité vaut T_C = T(z = d). En déduire (ΔT_(L0)d)/(T_F).
39) La miniaturisation pourrait permettre d'obtenir des micromachines thermiques ou même des nanomachines thermiques, constituant des matériaux aux propriétés thermiques surprenantes. Proposer des applications pour ces matériaux thermiquement actifs.