X ENS Mathématiques PC 2026Sujet et rapport du jury

2,6(40 votes)

Explorer les annales

BanqueX-ENS Année2026 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales X-ENS PC Mathématiques X-ENS PC 2026 PC Mathématiques Mathématiques 2026

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile

Modèles probabilistes de matériaux ferromagnétiques : convexité, énergie libre et transition de phase

Le sujet modélise un matériau ferromagnétique par une collection de petits aimants valant +1 ou −1, dont la configuration suit une loi proportionnelle à l'exponentielle d'une énergie. Une première partie établit des résultats de convexité, une deuxième calcule la limite de l'énergie libre d'une chaîne à l'aide des valeurs propres d'une matrice 2×2, et une troisième étudie la magnétisation macroscopique jusqu'à mettre en évidence une transition de phase.

1Première partie : convexitéLemme des pentes, convexité d'une limite simple de fonctions convexes, convergence des dérivées, caractérisation par la matrice hessienne, convexité de φ.
2Deuxième partie : énergie libre d'une chaîne de spinsCalcul de ZN à l'aide de la trace de A^N, limite de l'énergie libre FN, dérivée et limite de la magnétisation mN.
3Troisième partie : magnétisation macroscopique et transition de phaseFonction d'entropie I(x), loi binomiale et formule de Stirling, maximum de ψβ,h, dérivabilité de g et équation vérifiée par la magnétisation.

Difficile. Le rapport signale que la première partie a posé d'assez grandes difficultés et que de nombreuses questions de la troisième partie ont été très peu traitées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Lemme des pentes à redémontrer · Interversion de limites non justifiée · Définition de matrice symétrique positive

L'épreuve avait une forte dimension analytique et probabiliste, dans un cadre où les fonctions n'étaient pas supposées lisses. Peu de calculs étaient techniques, mais la rédaction a souvent manqué de précision sur la convexité, l'existence des limites et les interversions. Toutes les parties ont été abordées, mais assimiler les résultats successifs et les nombreuses notations était difficile.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Lemme des pentes à redémontrerQ1
La démonstration complète était attendue à partir de la définition de la convexité. Les passages à la limite ont été mal faits, sans passer à la limite dans tous les membres de l'inégalité.
« Notamment, la fonction en question n'était supposée dérivable qu'en un seul point (et pas plus). »
2
Interversion de limites non justifiéeQ4
La convergence dominée ne s'appliquait pas : il fallait justifier l'existence de la limite des f'n(x). Soustraire des encadrements demande aussi de la rigueur.
3
Définition de matrice symétrique positiveQ5, Q6
Il fallait se rappeler précisément de la définition d'une matrice symétrique positive pour relier convexité et hessienne.
« un nombre important de copies ont utilisé des caractérisations erronées de cette propriété »
4
Calcul de ZN par la traceQ13, Q14
Les termes B(ai, ai+1) ne sont pas mutuellement indépendants : il faut exprimer la trace et l'espérance en fonction des ai. Ensuite, l'inégalité entre les modules des deux valeurs propres a souvent été mal justifiée.
5
Équivalents de Stirling mal manipulésQ21
On ne peut pas sommer des équivalents, et il faut vérifier que les termes dans les factorielles tendent vers l'infini.
6
Signes des dérivées secondesQ23 à Q25
De nombreuses erreurs de signe dans le calcul de ψ'' ont compromis cette question et les deux suivantes.

Ce qui a été bien réussi

La question 9 est traitée dans pratiquement toutes les copies.
Les questions 11 et 12 sont traitées dans presque toutes les copies sans difficulté majeure.
Le prolongement par continuité de I (Q19) est réussi dans de nombreuses copies.
La question 28 a été beaucoup plus traitée que la précédente.

Conseils du jury

Vérifier précisément les hypothèses, souvent minimales dans ce sujet.
Justifier l'existence des limites et toute interversion de limite et de dérivée.
Relire chaque question pour n'en oublier aucune partie.
Citer explicitement les questions précédentes utilisées ; les admettre est permis.
Ne pas se contenter de survoler les questions les plus simples.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Le sujet explore certains modèles simplifiés de matériaux ferromagnétiques. L'idée générale est de représenter le matériau comme une collection de petits aimants qui peuvent prendre les valeurs +1 ou -1, et dont les interactions sont décrites par une fonction d'énergie. Le système occupe une configuration donnée avec une probabilité proportionnelle à l'exponentielle de cette fonction d'énergie. Certains paramètres du problème peuvent être reliés à la température par exemple, et on étudie les propriétés du système en fonction de ces paramètres.
Le sujet se décompose en trois parties. Même si ce n'est pas toujours mentionné, il est bien sûr tout à fait acceptable, pour répondre à une question, d'utiliser les résultats de questions précédentes.
On note

ℝ

l'ensemble des nombres réels et

ℕ^*

l'ensemble des entiers strictement positifs. On fixe, pour toutes les parties du sujet, un espace probabilisé

(Ω, 𝒜, P)

sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On note

P[A]

la probabilité d'un événement

A \in 𝒜

, et

E[X]

l'espérance d'une variable aléatoire

X

sur

(Ω, 𝒜, P)

à valeurs dans un sous-ensemble fini de

ℝ

.
Si

x = (x_1, \dots, x_d)

y = (y_1, \dots, y_d)

sont des éléments de

ℝ^d

, on note

x \cdot y = \sum_(i = 1)^d x_i y_i

leur produit scalaire. On dit qu'une fonction

f : ℝ^d \to ℝ

est convexe si pour tout

α \in [0, 1]

et tous

x, y \in ℝ^d

, on a

f(αx + (1 - α)y) ⩽ αf(x) + (1 - α)f(y).

Pour tout

x \in ℝ

, on définit

ch(x) = (e^x + e^(- x))/2, sh(x) = (e^x - e^(- x))/2, th(x) = (sh(x))/(ch(x)).

On rappelle que lorsque

n \in ℕ^*

tend vers l'infini, on a l'équivalence asymptotique

n! \sim \sqrt(2πn)(n/e)^n.

Première partie

On fixe

X

une variable aléatoire à valeurs dans un sous-ensemble fini de

ℝ^d

. On note

X_1, X_2\dots, X_d

les coordonnées de

X

. On définit l'application

φ : {ℝ^d, → ℝ; λ, ↦ lnE[e^(λ ⋅ X)].

Plus explicitement, en notant

(λ_1, λ_2, \dots, λ_d)

les coordonnées de

λ

, on a donc

φ(λ) = lnE[exp(\sum_(i = 1)^d λ_i X_i)].

Soit $g : ℝ \to ℝ$ une fonction convexe, que l'on suppose dérivable en un point $x \in ℝ$ . Montrer que pour tout $h > 0$ , on a

(g(x) - g(x - h))/h ⩽ g^'(x) ⩽ (g(x + h) - g(x))/h.

On se donne une suite $(f_n)_(n \in ℕ)$ de fonctions de $ℝ$ dans $ℝ$ , que l'on suppose convexes et dérivables. On suppose également que la suite $(f_n)_(n \in ℕ)$ converge simplement vers une fonction $f : ℝ \to ℝ$ . Montrer que la fonction $f$ est convexe.
Donner un contre-exemple où la fonction $f$ n'est pas dérivable sur $ℝ$ .
On suppose que $f$ est dérivable en un point $x \in ℝ$ . Montrer qu'on a alors

lim_(n \to \infty)f_n^'(x) = f^'(x).

Soit $g : ℝ^d \to ℝ$ une fonction convexe et de classe $𝒞^2$ . Montrer qu'en tout point $x \in ℝ$ , la matrice hessienne de $g$ en $x$ est une matrice symétrique positive.
Indication : Étant donné $u \in ℝ^d$ , on pourra considérer la fonction de $ℝ$ dans $ℝ$ qui à $t$ associe $g(x + tu)$ .
Soit $g : ℝ^d \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^2$ et telle qu'en tout point $x \in ℝ^d$ , la matrice hessienne de $g$ en $x$ est symétrique positive. Montrer que la fonction $g$ est convexe.
Montrer que l'application $φ$ (qui apparaît dans la section de notations) est de classe $𝒞^2$ , et que pour tous $i, j \in {1, \dots, d}$ et $λ \in ℝ^d$ , on a

(\partialφ)/(\partialλ_i)(λ) = (E[X_i e^(λ \cdot X)])/(E[e^(λ \cdot X)]), et (\partial^2 φ)/(\partialλ_i\partialλ_j)(λ) = (E[X_i X_j e^(λ \cdot X)])/(E[e^(λ \cdot X)]) - (E[X_i e^(λ \cdot X)])/(E[e^(λ \cdot X)])(E[X_j e^(λ \cdot X)])/(E[e^(λ \cdot X)]).

Montrer que la fonction $φ$ est convexe.

Deuxième partie

On se donne

(σ_i)_(i \in ℕ^*)

des variables aléatoires mutuellement indépendantes et telles que, pour tout

i \in ℕ^*

P[σ_i = 1] = P[σ_i = - 1] = 1/2.

Pour tout

N \in ℕ^*

, on note

X^((N)) = (σ_1, σ_2, \dots, σ_N)

; il s'agit d'une variable aléatoire à valeurs dans

ℝ^N

dont la première coordonnée est

σ_1

, la deuxième coordonnée est

σ_2

, et ainsi de suite.
Pour tous

β, h \in ℝ

a = (a_1, a_2, \dots, a_N) \in ℝ^N

, on définit

H_N(β, h, a) = β(\sum_(i = 1)^(N - 1)a_i a_(i + 1)) + βa_N a_1 + h\sum_(i = 1)^N a_i,

ainsi que

Z_N(β, h) = E[exp(H_N(β, h, X^((N))))], et F_N(β, h) = 1/NlnZ_N(β, h).

Pour tous $h \in ℝ$ et $N \in ℕ^*$ , montrer que $Z_(N + 1)(0, h) = ch(h)Z_N(0, h)$ , puis calculer $F_N(0, h)$ .
Montrer que la fonction $F_N : ℝ^2 \to ℝ$ est convexe.

Pour les quatre questions suivantes, on fixe

β ⩾ 0

h \in ℝ

.
11. On pose

A = (e^(β - h), e^(- β + h); e^(- β - h), e^(β + h)).

Montrer que la matrice

A

admet deux valeurs propres réelles distinctes, et que la plus grande valeur propre, que l'on note

λ(β, h)

, est donnée par la formule

λ(β, h) = e^β ch(h) + \sqrt(e^(2β)ch^2(h) - 2sh(2β)).

Pour tous $s, t \in ℝ$ , on note $B_(s, t) = exp(βst + hs)$ . Montrer que, pour tout $a \in ℝ^N$ , on a

exp(H_N(β, h, a)) = (\prod_(i = 1)^(N - 1)B_(a_i, a_(i + 1)))B_(a_N, a_1).

En déduire que

Z_N(β, h) = 2^(- N)tr(A^N).

Montrer que

lim_(N \to + \infty)F_N(β, h) = ln(λ(β, h)) - ln(2).

Montrer que la fonction $λ : [0, + \infty[ \times ℝ \to ℝ$ est de classe $𝒞^\infty$ .
Pour tous $β ⩾ 0$ et $h \in ℝ$ , on définit

m_N(β, h) = 1/(Z_N(β, h))E[(1/N\sum_(i = 1)^N σ_i)exp(H_N(β, h, X^((N))))].

Montrer que

lim_(N \to + \infty)m_N(β, h) = \partial/(\partialh)ln(λ(β, h)).

(Le terme de droite désigne la dérivée de la fonction

h \mapsto ln(λ(β, h))

, calculée en

h

. Pour répondre à cette question, on pourra penser à utiliser les résultats de questions précédentes, y compris de la première partie.)
17. Pour tout

β ⩾ 0

, on définit la fonction

g_β : {ℝ, → ℝ; h, ↦ ln(λ(β, h)) − β.

Montrer que la suite de fonctions

(g_β)_(β \in ℕ)

converge simplement vers la fonction

h \mapsto |h|

.
18. Identifier la limite simple de la suite

(g_β^')_(β \in ℕ)

. La convergence est-elle uniforme?

Troisième partie

Comme dans la deuxième partie, on se donne

(σ_i)_(i \in ℕ^*)

des variables aléatoires mutuellement indépendantes et telles que, pour tout

i \in ℕ^*

P[σ_i = 1] = P[σ_i = - 1] = 1/2

Pour tout

N \in ℕ^*

, on définit la variable aléatoire

S_N = 1/N\sum_(i = 1)^N σ_i,

ainsi que l'ensemble

ℳ_N = { − 1, − 1 + 2/N, − 1 + 4/N, …, 1 − 2/N, 1}.

Pour tous

N \in ℕ^*, β ⩾ 0

h \in ℝ

, on définit

Y_N(β, h) = E[exp(βNS_N^2 + hNS_N)], et G_N(β, h) = 1/NlnY_N(β, h).

Enfin, on définit la fonction

I : ] - 1, 1[ \to ℝ

par

I(x) = (1 + x)/2ln((1 + x)/2) + (1 - x)/2ln((1 - x)/2).

Montrer que la fonction $I$ peut se prolonger par continuité en -1 et en 1.
Pour chaque $x \in ℝ$ , calculer la probabilité de l'événement ${S_N = x}$ .
Soit $(u_N)_(N \in ℕ)$ une suite telle que pour tout $N \in ℕ$ , on a $u_N \in ℳ_N$ , et telle que $lim_(N \to \infty)u_N = x \in ] - 1, 1[$ . Montrer que

lim_(N \to + \infty) - 1/NlnP[S_N = u_N] = I(x).

Montrer que pour tous $β ⩾ 0, h \in ℝ$ , et $x \in ℳ_N$ , on a

G_N(β, h) ⩾ βx^2 + hx + 1/NlnP[S_N = x].

On admet que pour tous

β ⩾ 0

h \in ℝ

, la quantité

G_N(β, h)

converge, quand

N

tend vers l'infini, vers

g(β, h) = sup_(x \in [ - 1, 1])(βx^2 + hx - I(x)).

Pour les trois questions suivantes, on note, pour tous

β ⩾ 0

h \in ℝ

ψ_(β, h) : {[ − 1, 1], → ℝ; x, ↦ βx^2 + hx − I(x).

Pour tous $β ⩾ 0$ et $h \in ℝ$ , déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $ψ_(β, h)^('')(x) ⩽ 0$ . (On pourra distinguer le cas $β \in [0, 1/2]$ du cas $β > 1/2$ ).
Pour tous $β ⩾ 0$ et $h > 0$ , montrer que la fonction $ψ_(β, h)$ atteint son maximum en un unique point $x_*(β, h)$ , et que $x_*(β, h) \in ]0, 1[$ . Qu'en est-il pour $h < 0$ ?
Pour $β \in [0, 1/2]$ , montrer que la fonction $ψ_(β, 0)$ atteint son maximum en zéro et uniquement en ce point; on pose $x_*(β, 0) = 0$ dans ce cas. Pour $β > 1/2$ , montrer qu'il existe $x_*(β, 0) \in ]0, 1[$ tel que $ψ_(β, 0)$ atteint son maximum exactement en les points $x_*(β, 0)$ et $- x_*(β, 0)$ .
On fixe $β ⩾ 0$ et $h > 0$ , et on se donne une suite $(v_n)_(n \in ℕ)$ telle que $lim_(n \to \infty)v_n = h$ . On suppose de plus que la limite

lim_(n \to \infty)x_*(β, v_n)

existe. Montrer que cette limite est

x_*(β, h)

.
À partir de maintenant, on admet que pour tout

β ⩾ 0

, l'application

{[0, + ∞[, → ℝ; h, ↦ x_∗(β, h)

est continue.
27. Montrer que pour tous

β ⩾ 0

, et

h, h^' ⩾ 0

, on a

(h^' - h)x_*(β, h) ⩽ g(β, h^') - g(β, h) ⩽ (h^' - h)x_*(β, h^').

En déduire que pour tous $β ⩾ 0$ et $h > 0$ , la fonction $h^' \mapsto g(β, h^')$ est dérivable en $h$ , et que

(\partialg)/(\partialh)(β, h) = x_*(β, h).

Déterminer quelles sont les valeurs de $β ⩾ 0$ pour lesquelles la fonction $h \mapsto g(β, h)$ est dérivable sur $ℝ$ .
Pour tous $β ⩾ 0$ et $h > 0$ , identifier la limite quand $N$ tend vers l'infini de

1/(Y_N(β, h))E[(1/N\sum_(i = 1)^N σ_i)exp(β/N\sum_(i = 1)^N\sum_(j = 1)^N σ_i σ_j + h\sum_(i = 1)^N σ_i)].

(On pourra penser à utiliser les résultats de questions précédentes, y compris de la première partie.)
31. Pour tous

β ⩾ 0

h > 0

, montrer que

x_*(β, h)

satisfait l'équation

x_*(β, h) = th(h + 2βx_*(β, h)).

32.Montrer que
$lim_(h \to 0; h > 0)(x_*(1/2, h))/((3h)^(1/3)) = 1$

La quantité

x_*(β, h)

peut-être interprétée comme la magnétisation d'un matériau à température

1/β

soumis à un champ magnétique

h

. En particulier, le changement de comportement en

β = 1/2

met en évidence une transition de phase : une magnétisation spontanée apparaît à basse température, mais disparaît soudainement quand la température dépasse un certain seuil.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths X ENS PC 2026 ?

Sur des modèles probabilistes simplifiés de matériaux ferromagnétiques : convexité, limite de l'énergie libre d'une chaîne de spins et étude de la magnétisation menant à une transition de phase.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths PC X 2026 ?

Les fonctions convexes, le calcul différentiel à plusieurs variables, les valeurs propres et la trace, l'équivalent de Stirling et les développements limités, les suites de fonctions et les variables aléatoires finies.

Quelles erreurs le jury de maths PC X 2026 a-t-il relevées ?

Des passages à la limite et des interversions non justifiés, une mauvaise définition des matrices symétriques positives, des équivalents sommés à tort et des erreurs de signe sur les dérivées secondes.

Le sujet de maths X PC 2026 contenait-il des erreurs d'énoncé ?

Oui, deux. Une coquille à la question 5 n'a pas gêné les candidats. À la question 21, il manquait un terme constant en ln(2), sans impact sur la suite ni sur la correction.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Mathématiques PC 2026

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...