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Ecricome Maths approfondies ECS 2022

Epreuve de maths approfondies - ECS 2022

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireRéductionProbabilités continuesStatistiquesInformatique
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Ecricome
Année
2022
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2022.

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PDF
4d2bc973-0e6a-4847-8337-5043a282d4f8

Ccricome

prepa Mathématiques Option Scientifique

Lundi 25 avril 2022 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 5 pages.

CONSIGNES

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

Exercice 1

Dans tout cet exercice, on fixe un réel strictement supérieur à 1 . On définit pour tout la fonction polynomiale par
  1. (a) En notant pour tout réel et pour tout entier naturel , exprimer pour un entier naturel non nul en fonction de et .
    (b) Recopier et compléter la fonction Scilab suivante qui, prenant en entrée les valeurs de l'entier et du réel , renvoie la valeur de .
function S = f(n,x)
    t = 1 // t = t_O(x)
    S = 1 // S = f(0,x)
    for k = 1:n
        t = t * .....
        S = .....
    end
endfunction
  1. Justifier que, pour tout entier strictement positif, l'équation admet une unique solution sur , que l'on note .
  2. (a) Soit un réel positif.
Montrer que la suite est croissante et déterminer sa limite.
(b) En déduire la monotonie de la suite .
(c) Démontrer que la suite converge.
4. (a) Montrer que pour tout .
(b) Soit un réel positif et minorant la suite . Montrer que .
(c) Déduire des questions précédentes que .
On note pour tout et :
  1. (a) Justifier que la suite est bornée.
On considère dorénavant un réel strictement positif vérifiant
(b) Justifier que pour tout ,
(c) En déduire que
  1. (a) Justifier que, pour tout et pour tout :
(b) En se rappelant que pour tout de , déduire des deux questions précédentes que

Coricome

  1. (a) Justifier que, pour tout et pour tout :
(b) En déduire que :
(c) Justifier que , puis que .
(d) En déduire finalement que :

Exercice 2

On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .
On note Id l'endomorphisme identité de .
On dit qu'un endomorphisme est nilpotent quand il existe un entier naturel tel que soit l'endomorphisme nul. L'objectif de ce problème est de montrer que est la somme de deux endomorphismes de qui commutent, dont l'un est diagonalisable et l'autre est nilpotent.
  1. (a) Vérifier que -1 et 2 sont des valeurs propres de et déterminer les sous-espaces propres associés.
    (b) On suppose que est diagonalisable.
En étudiant la trace de , aboutir à une contradiction.
Que peut-on en déduire sur ?
2. Montrer que et que .
3. Montrer que .
Pour simplifier les notations, on note dorénavant
  1. Montrer que et sont stables par .
  2. On note . Justifier que est l'endomorphisme nul.
On note dorénavant et .
6. Justifier que les endomorphismes et commutent.
7. (a) Que vaut l'endomorphisme ?
(b) En déduire une inclusion entre et .
8. (a) Montrer que Id.
(b) En déduire une inclusion entre et .
9. Justifier que et que .
10. Déduire des questions 7a et 8a que et sont des projecteurs.
11. Montrer que est le projecteur sur parallèlement à . Identifier .
On pose maintenant
  1. Justifier que et sont des polynômes de l'endomorphisme .

Cócricome

  1. Montrer qu'il existe une base de telle que la matrice de dans cette base soit .
  2. Montrer que .
En déduire que .
15. Conclure.

Problème

Dans ce problème, on considère un réel et un réel strictement positif , et on définit sur la fonction

Partie I

  1. Soient et deux réels tels que .
    (a) Justifier que est de classe sur et donner sa dérivée notée et sa dérivée seconde .
    (b) En déduire les variations et la convexité de sur . On précisera les limites de en et . Donner l'allure de la courbe de en y faisant figurer le point d'inflexion.
    (c) Montrer que est une fonction bijective de vers un intervalle à déterminer. On note la réciproque de . Expliciter .
  2. Soient et deux réels tels que .
Montrer que est une densité, et que est la fonction de répartition associée.
On considère un espace probabilisé ( ), et on suppose que toutes les variables aléatoires introduites dans la suite du problème sont définies sur cet espace probabilisé.
Soient et des réels tels que . On dit qu'une variable aléatoire réelle suit la loi de Gumbel de paramètre ( ), ce que l'on note , si elle admet comme densité.
3. Soit une variable aléatoire qui suit la loi de Gumbel de paramètre ( 0,1 ).
Soit un réel et un réel strictement positif.
Montrer que la variable aléatoire est une variable aléatoire à densité qui suit la loi de Gumbel de paramètre ( ).
On admet que réciproquement, si suit la loi de Gumbel de paramètre , alors suit la loi de Gumbel de paramètre .
4. (a) Soit une variable aléatoire à densité qui suit la loi uniforme sur .
Montrer que la variable aléatoire suit la loi de Gumbel de paramètre ( 0,1 ).
(b) Écrire une fonction Scilab d'en-tête function gumbel ( ) renvoyant une réalisation d'une variable aléatoire de loi .
5. Soit une variable aléatoire qui suit la loi de Gumbel de paramètre ( ) et .
(a) Montrer que l'intégrale converge.
(b) À l'aide du changement de variable , montrer que l'intégrale converge.
On notera dans la suite :
(c) Montrer que admet une espérance et que .
On pourra utiliser le changement de variable .
(d) En déduire que admet une espérance et déterminer en fonction de et .

Cricome

On admet que admet un moment d'ordre 4 et en particulier que la variance de notée est égale à où est un réel strictement positif indépendant de et de .
6. Soient et deux variables aléatoires indépendantes, de même loi de Gumbel de paramètre ( 0,1 ).
(a) Montrer que est une variable aléatoire à densité, et déterminer une densité de .
(b) Montrer que pour tout réel , l'intégrale converge et déterminer sa valeur.
(c) À l'aide du changement de variable , en déduire que pour tout réel , l'intégrale converge.
(d) Montrer que est une variable aléatoire à densité, de densité la fonction définie sur par :

Partie II

Soient et deux réels tels que .
On considère une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur ( ), suivant chacune la loi de Gumbel de paramètre .
On définit pour tout de :
et
  1. Méthode des moments
    (a) Montrer que si les suites de variables aléatoires et convergent respectivement en probabilité vers deux variables aléatoires et , alors pour tous réels et , la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers .
    (b) Montrer que les variables aléatoires et convergent en probabilité respectivement vers et .
    (c) Montrer que est un estimateur convergent de .
    (d) Montrer alors que est un estimateur convergent de .
  2. On suppose qu'ont été définies précédemment dans un script Scilab des valeurs approchées de et de , dans des variables notées gamma et c.
    (a) Écrire une fonction Scilab d'en-tête function estimateur_a(X) renvoyant la valeur de l'estimateur étudié précédemment, lorsque X est un vecteur-ligne de longueur dont les coefficients sont des réalisations de .
    (b) On a tracé sur la figure 1 l'évolution de cinq réalisations indépendantes de cet estimateur , pour le cas particulier et .
    Commenter ce graphique.
Ccricome
Figure 1 - Évolutions de pour et
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