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Ecricome Maths approfondies ECS 2019

Epreuve de maths approfondies - ECS 2019

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéairePolynômes et fractions
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Ecricome
Année
2019
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2019ECS MathématiquesMathématiques 2019

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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2019.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
34415d50-e558-499c-96f8-b7a694fb9999

Ccricome

prepa
Mathématiques
Option Scientifique

Mardi 16 avril 2019 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 7 pages.

CONSIGNES

TOUTES LES COPIES DOIVENT COMPORTER UN CODE-BARRES D'IDENTIFICATION.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

EXERCICE 1

On considère la suite définie par :
  1. Montrer que est bien défini pour tout .
Calculer et .
2.(a) Étudier la monotonie de la suite .
En déduire que la suite converge.
(b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : .
(c) En déduire que: et .
(d) Compléter la fonction I suivante, qui prend en entrée un entier positif , afin qu'elle retourne un vecteur y qui contient les premiers termes de la suite .
function y = I(n)
    u = zeros(1 , ........)
    u(0) = ........
    u(1) = ........
    for k = 1 : n
            ........
        end
        y = u
endfunction
3.(a) Rappeler un équivalent simple de et au voisinage de 0 .
(b) Montrer que . En déduire .
(c) Montrer que : .
4. (a) Montrer que pour tout :
(b) Montrer que pour tout :
(c) En déduire que .
5.(a) Montrer que pour tout :
En déduire la nature de la série de terme général .
(b) Écrire une fonction en Scilab qui prend entrée un entier naturel et qui renvoie en sortie le terme de rang de la suite des sommes partielles associée à la série .
6.(a) Montrer que pour tout réel de .
(b) À l'aide du changement de variable , montrer que : .
(c) Montrer que pour tout entier .
(d) Montrer que: .
(e) En déduire que la série est convergente et déterminer sa somme.

EXERCICE 2

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On dit qu'un vecteur de est symétrique (respectivement antisymétrique) lorsque :
On note l'ensemble des vecteurs symétriques de et l'ensemble des vecteurs antisymétriques de .
On note la matrice définie par :

Partie A

Dans cette partie et uniquement dans cette partie, on étudie le cas particulier où . La matrice est alors la suivante :
  1. Calculer . En déduire les valeurs propres de .
  2. Déterminer une base de et de .
Vérifier que et sont des sous-espaces propres de .
3. En déduire que : .

Partie B

On revient dans la suite dans le cas général où est un entier supérieur ou égal à 2 .
4.(a) Expliciter et justifier que est diagonalisable.
(b) Calculer lorsque .
(c) Pour et deux entiers de , expliciter le coefficient en ligne et colonne de en fonction des coefficients de .
En déduire que est la matrice identité d'ordre .
5.(a) Soit un vecteur de .
Montrer qu'il existe un unique couple ( ) de vecteurs de tel que :
(b) Montrer que et sont les sous-espaces propres de . Préciser les valeurs propres associées.
6. Soit une matrice de telle que :
On considère une valeur propre de et un vecteur propre associé.
(a) Vérifier que .
(b) Montrer que est un vecteur propre de .
(c) On pose . Exprimer en fonction de et .
(d) En déduire que le sous-espace propre associé à la valeur propre de contient nécessairement un vecteur symétrique non nul ou un vecteur antisymétrique non nul.

PROBLEME

Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages d'une boule dans cette urne. Après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l'urne, et on rajoute dans l'urne une boule de couleur opposée à celle qui vient d'être tirée.
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé .
Pour tout , on note le nombre de boules blanches présentes dans l'urne juste avant le -ième tirage. En particulier, on a . On admet que pour tout entier est une variable aléatoire de .

Partie A

  1. Déterminer la loi de . Donner son espérance et sa variance.
  2. Justifier soigneusement que la loi de est donnée par :
  1. Préciser l'ensemble des valeurs que peut prendre .
  2. Soient et . Déterminer .
    (On distinguera différents cas selon les valeurs relatives de et ).
  3. Déduire de ce qui précède que :
  1. À l'aide de la formule (*), déterminer la loi de .
    7.(a) Montrer que pour tout .
    (b) Déterminer pour tout , la valeur de .
    (c) Pour tout , on pose : .
Exprimer en fonction de et de .
Montrer que la suite définie par : est géométrique.
En déduire alors que :

Partie B

  1. Que renvoie la fonction Scilab suivante pour un entier non nul?
Détailler le fonctionnement de la ligne 5.
function x = mystere( k )
    n = 1 ;
    b = 1 ;
    for i = 1 : k
        r = floor(rand()*(n+b)+1)
        if r > n then
            n = n + 1
        else
            b = b + 1
        end
    end
    x = b
endfunction
  1. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function LE loi-exp( ) qui prend en entrée un entier strictement positif et un entier , qui effectue simulations de tirages successifs dans l'urne et qui retourne un vecteur LE qui contient une estimation de la loi de (c'est-à-dire que pour chaque , LE(i) contient la fréquence d'apparition de l'événement au cours des simulations).
    On pourra utiliser la fonction mystere.
  2. Recopier et compléter la fonction loi-theo suivante, qui prend en entrée un entier strictement positif , afin qu'elle retourne un vecteur LT qui contient la loi théorique de .
function LT = loi-theo(n)
    M = zeros(n , n + 1)
    M(1,1) = 1 / 2
    M(1,2) = 1 / 2
    for k = 1 : n - 1
        M(k+1,1) = ........
        for i = 2 : k + 1
            M(k+1, i) = ........
        end
        M(k+1,k+2) = ........
    end
LT = ........
endfunction
  1. Un étudiant nous propose comme loi de le résultat suivant :
1 2 3 4 5 6
0.001368 0.079365 0.419434 0.418999 0.079454 0.00138
A-t-il utilisé loi-exp ou bien loi-theo?

Partie C

12.(a) À l'aide de la formule (*), montrer que :
(b) Déduire de ce qui précède que :
(c) Soit la variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l'urne après tirages.
Justifier que et ont même espérance, puis retrouver le résultat de la question précédente.
On admettra pour la suite que :
  1. (a) Soit . Montrer que :
(b) Interpréter ce résultat et le justifier intuitivement.

Partie D

  1. Pour tout couple d'entiers tels que , on définit l'application par :
(a) Montrer que est linéaire.
(b) Pour , montrer que .
(c) En déduire que est injective.
(d) Montrer que pour tout polynôme dans , il existe un polynôme dans tel que .
(Pour non nul, on pourra s'intéresser à la restriction de à où est le degré de ).
Ce qui précède montrant que est un automorphisme, on définit le polynôme pour tout couple d'entiers tels que , en posant:
et enfin pour tout entier ,
  1. (a) Vérifier que : , puis calculer .
    (b) Vérifier que : .
On admettra dans la suite que : et .

Cócricome

  1. On considère, pour tout entier de , la propriété suivante :
On souhaite montrer par récurrence que, pour tout de est vraie.
(a) Montrer que est vraie.
(b) Soit . On suppose que est vraie et on pose:
En utilisant la formule et la relation , montrer que la suite est géométrique.
Déterminer et en déduire que est vraie.
(c) Conclure.
17.(a) En utilisant le résultat de la question 15(a), retrouver le résultat de la question 7(c).
(b) Déterminer pour tout .

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