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Ecricome Maths approfondies ECS 2017

Epreuve de maths approfondies - ECS 2017

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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Ecricome
Année
2017
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2017.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
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Option Scientifique

Mercredi 12 avril 2017 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 6 pages.

CONSIGNES

Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

EXERCICE 1

On définit sur l'intervalle les deux fonctions et .
1.(a) Les fonctions et admettent-elles des limites en 0 ?
(b) Dresser les tableaux de variations des fonctions et sur .
(c) Justifier que l'intégrale est convergente. On notera sa valeur.
2. Pour tout , on pose :
et :
(a) Justifier que pour tout existe.
(b) Montrer que la suite converge vers 0.
(c) Calculer et .
(d) À l'aide d'intégrations par parties successives, montrer que :
(e) Montrer que la série de terme général est convergente.
(f) Écrire une fonction Scilab d'en-tête function somme(n) qui prend comme paramètre d'entrée un entier naturel et qui produit en paramètre de sortie la valeur de .
3.(a) À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 à l'ordre appliquée à la fonction exponentielle, montrer que pour tout et tout entier naturel :
(b) En déduire que:
(c) Montrer que :
(d) Écrire une fonction Scilab d'en-tête function I = estimation(eps) qui prend comme paramètre d'entrée un réel flottant strictement positif et qui produit en paramètre de sortie une valeur approchée de à près.

EXERCICE 2

Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
Pour tout élément de , on note le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique de .
On rappelle que si est ainsi associé à et à , le produit scalaire canonique sur est défini par :
où représente la transposée de .
  1. On note la matrice de dont tous les coefficients valent 1 .
    (a) Justifier qu'il existe une matrice de et une matrice diagonale de telles que :
(b) Déterminer le rang de . En déduire une valeur propre de ainsi que la dimension du sousespace propre associé.
(c) En examinant la trace de , expliciter la matrice .
2. On note la forme quadratique définie sur par :
(a) Montrer que pour tout ,
(b) Déterminer une matrice telle que :
(c) Exprimer comme combinaison linéaire de et , où désigne la matrice identité de .
(d) En déduire qu'il existe une matrice diagonale à déterminer telle que :
(e) Montrer que la fonction admet un minimum et un maximum sur l'ensemble :
et déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de sur .
3. Dans cette question, est une matrice de qui est symétrique et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. On note l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base canonique de .
(a) Justifier que est diagonalisable et montrer qu'il existe une matrice telle que .
On note l'endomorphisme dont est la matrice dans la base canonique de .
(b) À l'aide de et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que :
Pour un non nul donné, trouver un non nul tel que cette inégalité soit une égalité.
(c) En déduire que :
  1. On suppose que et .
    (a) Montrer que est inversible et déterminer .
    (b) Montrer que toutes les valeurs propres de sont strictement positives.
    (c) En déduire le minimum de la fonction définie sur par :
sous la contrainte .

PROBLÈME

Toutes les variables aléatoires présentes dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé .

Partie A

Dans toute cette partie, est un réel strictement positif et est la fonction définie par:
  1. Justifier que est une densité de probabilité.
  2. Soit une variable aléatoire admettant pour densité.
    (a) Soit une variable aléatoire suivant la loi normale centrée et de variance . Rappeler une densité de et donner les valeurs de et .
    (b) Montrer que admet une espérance et calculer .
    (c) Montrer que admet une variance et calculer .

Partie B

Pour tout entier strictement positif, on considère l'expérience suivante : on dispose de urnes initialement vides, numérotées de 1 à et on dispose d'un grand stock de boules que l'on dépose une à une dans ces urnes. Pour chaque boule, on choisit au hasard, de façon équiprobable, l'urne dans laquelle la boule est déposée.
On note le rang du premier tirage pour lequel une des urnes contiendra deux boules.
  1. Compléter la fonction Scilab suivante pour qu'elle simule une réalisation de la variable aléatoire :
function X = tirage(n)
    urnes = zeros(1,n)
    X = 1
    choix = floor((rand()*n))+1
    while ............
        urnes(choix) = urnes(choix)+1
        choix = floor((rand()*n))+1
        X = ............
    end
endfunction
  1. On suppose dans cette question que .
Déterminer la loi de ainsi que son espérance et sa variance.
3. On suppose dans cette question que .
Déterminer la loi de ainsi que son espérance et sa variance.
4. On se place ici dans le cas général, désigne un entier strictement positif.
(a) Déterminer en justifiant brièvement.
(b) Montrer que :
(c) Montrer que pour tout entier strictement positif admet une espérance.
(d) On souhaite écrire une fonction Scilab qui calcule en fonction de .
Compléter la fonction suivante à cet effet :
function E = esperance(n)
    facto = prod([1:n])
    fac = facto
    somme = 0
    puissance = n
    for k = 2 : (n+1)
        puissance = ........
        fac = ........
        somme = somme + k*(k-1)/(puissance*fac)
    end
    E = facto * somme
endfunction

Partie C

On reprend dans cette partie les variables aléatoires étudiées dans la partie B . Pour tout entier et pour tout , on pose :
  1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle ,
  1. En déduire que pour tout tel que , on a :
  1. On suppose dans cette question que .
Calculer .
4. On suppose dans cette question que est un réel .
(a) Donner la limite puis un équivalent simple de lorsque tend vers .
(b) Justifier qu'il existe un entier tel que:
(c) Montrer que :
(d) En déduire que pour tout , on a :
(e) Montrer alors que admet une limite lorsque tend vers l'infini et déterminer cette limite.

Partie D

On admettra dans cette partie le résultat suivant :
Si est une variable aléatoire et si est une suite de variables aléatoires telles que :
★ pour tout admet une densité ;
★ la variable admet une densité ;
pour tout réel , on a : ;
alors, la suite converge en loi vers .
On considère toujours dans cette partie la suite de variables aléatoires définies dans la partie B . On introduit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle , que l'on suppose indépendante des variables aléatoires (pour ), et on pose :
On définit enfin, pour tout entier entier strictement positif, la fonction par :
1.(a) Soit et .
Déterminer l'ensemble des réels tels que .
(b) Montrer que pour tout entier , la fonction est une densité de probabilité.
2.(a) Soit et . Calculer .
On pourra séparer les cas où et .
(b) À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que :
(c) Justifier que, pour tout entier , la variable aléatoire est une variable aléatoire à densité, et que admet pour densité.
(d) Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on précisera la densité.
3.(a) Rappeler l'énoncé du Théorème de Slutsky.
(b) Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.
ECRICOME

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