Suites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementInformatique
Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 7 pages.
CONSIGNES
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, vous devez le restituer aux examinateurs à la fin de la session ou le laisser sur table selon la consigne donnée dans votre centre d'écrits.
EXERCICE 1
On pourra utiliser sans justification que .
On s'intéresse dans cet exercice à la série de terme général pour .
On note: .
(a) Rappeler les développements limités à l'ordre 2 lorsque tend vers 0 de et .
(b) Montrer alors que : .
(c) Montrer que la série de terme général converge, puis que la suite converge vers un réel , appelé constante d'Euler.
Étudier les variations de la fonction sur [. Dresser le tableau de variations de la fonction en précisant les limites aux bornes de son ensemble de définition.
3 . On note pour tout entier ,
(a) Montrer que les suites et sont adjacentes.
(b) Montrer que la série de terme général converge. Est-elle absolument convergente ?
4. On note pour tout entier .
(a) Justifier que pour tout entier , on a :
(b) En déduire que la suite est décroissante et convergente.
5. Montrer que pour tout entier ,
puis que :
Démontrer alors que :
EXERCICE 2
Le but de cet exercice est d'étudier pour un entier tel que les points critiques de la fonction définie sur le domaine :
par:
On admettra que est un ouvert de .
Pour tout polynôme de , on note :
(a) Montrer que l'application définit un endomorphisme de .
(b) Écrire la matrice de dans la base canonique de .
(c) Vérifier que le polynôme est un vecteur propre de pour une valeur propre à préciser.
(d) Montrer que est diagonalisable et préciser la dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
2. On s'intéresse dans cette question (et uniquement dans cette question) au cas . On a donc:
et :
(a) Justifier que admet des dérivées partielles premières et secondes sur et les calculer.
(b) Montrer que admet un unique point critique : le point de coordonnées .
(c) Déterminer les valeurs propres de la matrice .
La fonction admet-elle un extremum local en ?
On revient à présent au cas général avec .
3. On note . On note le polynôme à coefficients réels défini par : et pour tout , on note : . On a donc :
(a) Calculer pour tout .
(b) En déduire que :
(c) Montrer que pour tout , on a : et .
(d) Justifier que pour tout et pour tout , on a :
(e) En déduire que :
(f) Montrer que est un point critique de si et seulement s'il existe tel que :
En observant le terme dominant de , montrer plus précisément que :
(a) À l'aide des résultats des questions question 1(d) et 3(f), montrer que la fonction admet au plus un seul point critique sur .
(b) Dans le cas spécifique où , montrer, en utilisant le résultat de la question 1 (c), que admet un unique point critique sur que l'on déterminera.
PROBLÈME
Partie A
Pour tout , on note le réel défini par :
et on note la fonction définie par:
(a) Calculer pour tout .
(b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
(c) En déduire que :
(d) Justifier que pour tout couple est une densité de probabilité.
2. Dans toute la suite de cette partie, on fixe et on considère une variable aléatoire réelle admettant pour densité. On dit que suit la loi beta de paramètres et .
(a) Montrer que admet une espérance et que :
(b) Montrer que admet une variance et que :
(c) Soit la fonction définie par:
Montrer que est la fonction de répartition de .
Partie B
Soient deux entiers strictement positifs. Une urne contient initialement boules rouges et boules blanches. On effectue une succession d'épreuves, chaque épreuve étant constituée des trois étapes suivantes :
on pioche une boule au hasard dans l'urne,
on replace la boule tirée dans l'urne,
on rajoute dans l'urne une boule de la même couleur que celle qui vient d'être piochée
Après épreuves, l'urne contient donc boules.
Pour tout , on note le nombre de boules rouges qui ont été ajoutées dans l'urne (par rapport à la composition initiale) à l'issue des premières épreuves.
Pour tout , on notera l'événement « on pioche une boule rouge au -ième tirage».
3. Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire en fonction de .
4. On souhaite simuler l'expérience grâce à Scilab.
(a) Compléter la fonction suivante, qui simule le tirage d'une boule dans une urne contenant boules rouges et boules blanches et qui retourne la valeur 0 si la boule est rouge et 1 si elle est blanche.
function res = tirage(x,y)
r = rand()
if .......... then
res = 0
else
res = 1
end
endfunction
(b) Compléter la fonction suivante, qui simule tirages successifs dans une urne contenant initialement boules rouges et boules blanches (selon le protocole décrit ci-dessus) et qui retourne la valeur de :
function Xn = experience(a,b,n)
x = a
y = b
for k=1:n
r = tirage(x,y)
if r = = 0 then
x = ..........
else
............
end
end
Xn = ........
endfunction
(c) Écrire une fonction Scilab d'en tête :
function loi = simulation ( )
qui fait appel m fois à la fonction précédente pour estimer la loi de . Le paramètre de sortie sera un vecteur contenant les approximations de .
5. On s'intéresse ici au cas où . On utilise la fonction simulation avec des valeurs de entre 1 et 5 et on affiche à chaque fois l'estimation de la loi de sous forme d'un diagramme en « bâtons».
--> bar( simulation(1,1,1,100000))
--> bar( simulation(1,1,2,100000))
--> bar( simulation(1,1,3,100000))
ECRICOME
(a) À l'aide de ces résultats, conjecturer la loi de .
(b) Déterminer la loi de .
(c) Soient et deux entiers tels que . Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes:
(d) En raisonnant par récurrence sur , prouver la conjecture émise au .
6. On revient au cas général où et sont deux entiers strictement positifs.
(a) Soit . Calculer la probabilité suivante :
(b) Justifier alors que :
(c) En déduire que :
(d) Calculer , puis en déduire que :
ECRICOME
Partie C
On admettra dans cette partie que si et sont trois entiers strictement positifs, alors pour tout entier naturel , on a :
On reprend pour tout la variable aléatoire étudiée dans la partie précédente, et on note . On note la fonction de répartition de .
7. (a) Soit . Que vaut ?
(b) Soit . Que vaut ?
8. On fixe . Pour tout réel , on note la partie entière de , c'est-à-dire le plus grand entier tel que . On rappelle qu'alors on a .
(a) Justifier que .
(b) A l'aide de la formule sommatoire admise en début de la partie C , prouver que :
(c) Pour fixé, déterminer un équivalent simple de lorsque tend vers .
(d) Déterminer la limite de lorsque tend vers (On obtiendra un résultat sous forme d'une somme qu'on ne tentera pas de calculer).
9. Déterminer puis sa limite quand tend vers .
10. Déduire de ce qui précède que la suite converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi Beta dont on explicitera les paramètres.
11. A l'aide du résultat de la question 6 (d) de la partie B , déterminer la limite lorsque tend vers de et commenter ce résultat à la lumière de la question précédente.
LaTeX →
Word →
