Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » :
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
EXERCICE 1
Soit un entier naturel et soit l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à . Pour tout polynôme de , on pose : .
(a) Montrer que est un endomorphisme de .
(b) Déterminer la matrice associée à dans la base canonique de .
(c) Montrer que est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
Pour tout de , on note :
(a) Montrer que pour tout est bien défini.
(b) Montrer que définit un produit scalaire sur .
3. Montrer que est un endomorphisme symétrique pour le produit scalaire .
4. On définit une famille ( ) de polynômes de par :
(a) Montrer que est une base orthogonale de .
(b) Montrer que la base est constituée de vecteurs propres de .
EXERCICE 2
On note pour tout :
(a) Factoriser le polynôme dans .
(b) On pose pour tout .
Justifier que est dérivable sur et que pour tout .
(c) En déduire les variations de sur .
(d) On pose pour tout .
Justifier qu'il existe un polynôme de , de degré deux, tel que pour tout .
(e) En déduire les variations de sur .
(f) Montrer que :
(a) En utilisant le fait que , calculer et .
(b) Déduire de la question 1(f) un encadrement de .
On pose pour tout entier naturel ,
(a) Justifier que pour tout réel ,
et en déduire que pour tout entier naturel ,
(b) Montrer que pour tout ,
(c) Justifier que les deux termes de l'encadrement précédent tendent vers quand tend vers l'infini.
(d) Compléter la fonction Scilab suivante afin qu'elle retourne, à l'aide des relations (*) et (**) et de la question 3 (b), une approximation de à près, ainsi que le nombre d'itérations qui ont été nécessaires.
function [x,k]=h(e)
k = 0
a = sqrt(3) / 2
b = 1 / 2
while __-_-_-_-_-_-_
a =
b =
k =
end
x =
endfunction
(e) On souhaite étudier l'évolution du nombre d'itérations nécessaires en fonction de la précision souhaitée. Écrire une fonction Scilab qui prend comme paramètre d'entrée un entier et qui retourne un vecteur de taille qui contient les nombres d'itérations nécessaires pour les précisions , pour .
(f) On utilise la fonction précédente avec et on représente graphiquement les valeurs obtenues. On obtient le graphe suivant :
Commenter ce graphe.
PROBLÈME
Toutes les variables aléatoires introduites dans ce problème sont toutes définies sur un même espace probabilisé ( ). Dans tout le problème, on considère une variable aléatoire à valeurs positives, et une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi que .
On note pour tout entier , autrement dit :
On dit que la loi de est implosive si n'admet pas d'espérance et s'il existe un entier tel que admet une espérance.
Si la loi de est implosive, on appelle indice d'implosion de le plus petit entier tel que admet une espérance.
On notera la fonction de répartition de et la fonction de répartition de pour tout entier .
Dans le cas où (respectivement ) admet une densité, on la notera (resp. ).
Partie A - Résultats préliminaires
q 1. Montrer que pour tout entier , la fonction de répartition de est donnée par :
On suppose dans cette question que admet une densité . Montrer que pour tout entier admet une densité et que:
3. On souhaite prouver dans cette question que pour une variable aléatoire positive admettant une densité continue sur et dont on note la fonction de répartition , on a l'équivalence suivante :
et qu'on a dans ce cas :
(a) Montrer que :
(b) On suppose que admet une espérance.
Montrer que tend vers 0 lorsque tend vers .
En déduire que converge.
(c) On suppose que converge. Montrer que admet une espérance.
K (d) Conclure.
On admet que le résultat de la question 3 reste vrai si la fonction est continue sur sauf en un nombre fini de points.
Partie B - Quelques exemples
4. On suppose dans cette question que admet pour densité la fonction définie par :
(a) Déterminer le réel .
(b) Donner la fonction de répartition de .
(c) Déterminer la fonction de répartition de et justifier que admet une densité , que l'on calculera.
(d) Montrer que pour tout réel strictement positif,
(e) En déduire un équivalent de en .
(f) En déduire que la loi de est implosive et donner son indice d'implosion.
5. On suppose dans cette question que est une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que :
(a) Vérifier que .
(b) La variable aléatoire admet-elle une espérance?
(c) Pour tout entier , donner la valeur de .
(d) Déterminer la loi de . Admet-elle une espérance?
(e) Déterminer la loi de . Admet-elle une espérance?
(f) La loi de est-elle implosive? Si oui, quel est son indice d'implosion ?
Partie C - Loi implosive d'indice fixé
On souhaite dans cette partie répondre à la question suivante : « Existe-t-il, pour tout entier naturel , une loi qui est implosive et d'indice d'implosion égal à ? »
6. Soit .
(a) Déterminer un réel tel que la fonction définie par :
soit une densité de probabilité.
(b) Dans la suite de cette partie, est une variable aléatoire admettant comme densité. Déterminer la fonction de répartition de .
(c) Discuter, en fonction de , l'existence de l'espérance de .
(d) Discuter, en fonction de et de , l'existence de l'espérance de .
(e) Répondre à la question posée.
Partie D - Lois non implosives
On souhaite dans cette partie répondre à la question suivante : « Existe-t-il des variables aléatoires positives qui n'admettent pas d'espérance et dont la loi n'est pas implosive ?
7. (a) Déterminer un réel tel que la fonction définie par :
soit une densité de probabilité.
(b) Dans la suite de cette partie, est une variable aléatoire admettant comme densité. Déterminer la fonction de répartition de .
(c) La variable aléatoire admet-elle une espérance?
(d) Discuter l'existence de l'espérance de .
(e) Répondre à la question posée.
Partie E - Variables implosant sur une autre
Soit une variable aléatoire positive admettant une espérance. On dit que la variable aléatoire implose sur si est implosive et si, en notant son indice d'implosion, est de même loi que .
8. Soient et deux variables aléatoires réelles et soit un entier supérieur ou égal à 2 tel que a la même loi que . À l'aide de la formule de la question A.1, exprimer la fonction de répartition de en fonction de celle de .
9. Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre . À l'aide de la question précédente, montrer qu'il n'existe aucune variable aléatoire implosive qui implose sur .
10. Soit un entier tel que . Montrer qu'il existe une variable aléatoire admettant une espérance et une variable aléatoire implosive d'indice d'implosion qui implose sur .
(on pourra s'inspirer des résultats de la partie C).
11. Soit une variable aléatoire positive admettant une densité . On note sa fonction de répartition.
Soit un entier tel que . Montrer que s'il existe une variable aléatoire implosive, d'indice d'implosion , qui implose sur , alors pour tout entier tel que , il existe une variable aléatoire implosive, d'indice d'implosion , qui implose sur .
Partie F - Variables explosives
On pose pour tout entier , autrement dit :
On dit que la loi de est explosive s'il existe un entier tel que n'admet pas d'espérance. Si la loi de est explosive, on appelle indice d'explosion de le plus petit entier tel que n'admet pas d'espérance.
12. Pour un entier donné, existe-t-il des variables aléatoires de loi explosive dont l'indice d'explosion est ?
13. Existe-t-il des variables aléatoires positives qui ne sont pas explosives?
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