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Ecricome Maths approfondies ECS 2014

Epreuve de maths approfondies - ECS 2014

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéairePolynômes et fractionsSéries et familles sommablesIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Ecricome
Année
2014
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2014.

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ECRICOME
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CONCOURS D'ADMISSION 2014

Mathématiques

Option Scientifique

Mercredi 16 avril 2014 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » :
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

EXERCICE 1

Soit , on note l'ensemble des fonctions telles qu'il existe deux polynômes appartenant à avec :
Pour tout entier , on pose :
Pour toute fonction appartenant à , on note la fonction définie sur ": par :
et on note l'application qui à associe .
  1. Prouver que est un -espace vectoriel et que (c'est-à-dire que est l'espace vectoriel engendré par les fonctions .
On admettra que la famille est une base de .
2. Justifier que chaque fonction de se prolonge en une fonction continue sur et, pour tout , calculer et .
3. Démontrer que est linéaire. En déduire que lorsque .
4. Ecrire la matrice de dans la base .
5. L'endomorphisme est-il bijectif? Quelles sont ses valeurs propres?
6. Soit un vecteur propre de associé à la valeur propre . On suppose que est non nul et on considère la fonction définie sur par :
Montrer que est constante sur . En déduire l'expression de la fonction puis celle de .
7. Pour chaque valeur propre de , déterminer la dimension de l'espace propre de associé à la valeur propre . L'endomorphisme est-il diagonalisable?

EXERCICE 2

On rappelle que la fonction d'Euler est définie sur par :
On admettra que est de classe sur et que :
On pose pour tout :
  1. Justifier que, pour tout et tout , l'intégrale est convergente.
  2. Exprimer en fonction de et de . En déduire que :
puis préciser la valeur de pour .
3. A l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, établir que:
  1. Démontrer que :
puis justifier que la fonction est croissante sur .
5. Soit [.
(a) Prouver que pour tout :
(b) Etablir que la série est convergente et calculer sa somme en fonction de et de .

PROBLEME

Soient un réel appartenant à l'intervalle et un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On pose .
On considère un tournoi réunissant une infinité de joueurs qui s'affrontent dans une série de duels de la façon suivante :
  • et s'affrontent durant le duel numéro 1 . Le perdant est éliminé du tournoi, le gagnant reste en jeu;
  • Le gagnant du premier duel participe au duel numéro 2 durant lequel il affronte le joueur . Ce duel se déroule de manière analogue, et ne dépend du duel précédent que par l'identité du joueur affrontant . Le perdant est éliminé du tournoi, et le gagnant du jeu participe au duel numéro 3 contre le joueur et ainsi de suite;
  • Pour tout , le joueur participe au duel numéro , qu'il peut remporter avec une probabilité , son adversaire durant ce duel pouvant remporter le duel avec la probabilité .
  • Est désigné gagnant du tournoi, le premier joueur, s'il y en a un. qui gagne jeux successifs lors du tournoï.
Pour tout entier naturel , on considère l'événement le gagnant du tournoi n'a pas encore été désigné à l'issue du duel numéro ».

PARTIE I : Etude d'un cas particulier.

On suppose dans cette partie que et .
  1. Simulation des duels. Rappelons que la commande random crée aléatoirement un réel appartenant à l'intervalle (qui suit en outre la loi uniforme sur ).
    (a) Ecrire une fonction DUEL en Turbo-Pascal qui créé un nombre aléatoire et renvoie 1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à et 0 sinon.
    (b) Ecrire une fonction TEST_VICTOIRE en Turbo-Pascal qui, à trois nombres fournis par l'utilisateur, renvoie TRUE si les trois sont égaux. FALSE sinon.
    (c) Ecrire un programme TOURNOI en Turbo-Pascal simulant un tournoi et renvoyant le nombre de duels nécessaires pour que le tournoi dispose d'un vainqueur (c'est-à-dire un candidat ayant remporté 3 victoires consécutives). Indication : Si on souhaite, on pourra utiliser les fonctions DUEL et TEST VICTOIRE en les répètant convenablement jusqu à ce que TEST_VICTOIRE sur trois DUEL consécutifs renvoie TRUE.
  2. Créer la liste des gagnants possibles pour chacun des trois premiers duels sous la forme d'un tableau de la forme suivante :
numéro
du joueur
gagnant
le duel
duel 1
duel 2 0
duel 3 0
Déterminer les probabilités et . Vérifier que :
  1. En considérant le nombre de victoires déjà obtenues par le vainqueur du duel numéro , démontrer que pour tout entier naturel , on a :
  1. Justifier l'existence de quatre réels tels que :
Le calcul explicite de et n'est pas demandé. Calculer .
5. Que vaut la probabilité ? Quelle est la probabilité de l'événement « le tournoi désignera un vainqueur »?

PARTIE II : Etude du cas général.

On revient au cas général : désigne un réel quelconque de et est un entier supérieur ou égal à 3 . On considère le polynôme défini par :
  1. Pour tout entier , on note l'événement : « à l'issue du -ième duel, le vainqueur du -ième duel a obtenu exactement victoires ».
Justifier l'égalité :
  1. Etablir que pour tout , on a :
  1. Calculer . En déduire que :
  1. Soit . Démontrer la relation :
  1. Prouver que l'équation possède une unique solution sur l'intervalle .
    On note désormais cette solution. Justifier que :
  1. A l'aide de la relation ( ) (question II.2), établir que :
  1. Etablir la convergence de la série puis, en sommant la relation (question II.4) sur tous les entiers , donner la valeur de .
  2. On définit la variable aléatoire égale au nombre de duels qui ont eu lieu au moment de la proclamation du vainqueur du tournoi. On conviendra que si le tournoi n'a pas de vainqueur.
    (a) Soit . Justifier que les événements et sont égaux.
    (b) Démontrer que admet une espérance et exprimer en fonction de . En déduire la valeur de .

PARTIE III : Calcul de .

Les hypothèses et définitions introduites à la partie II sont conservées. Les résultats de la question II.5) pourront être utilisés librement (même si la preuve n'a pas été effectuée).
  1. On considère le polynôme :
et on admet que :
Soit un complexe tel que
Montrer que et . En déduire que puis obtenir une contradiction.
Par conséquent chaque racine complexe de est de multiplicité 1 donc, d'après le théorème de d'Alembert Gauss, il existe complexes non nuls et distincts tels que :
  1. On considère l'application linéaire
où sont les racines distinctes de .
(a) Prouver que est un isomorphisme.
(b) Ecrire sa matrice dans les bases canoniques de et . Expliciter (la transposée de A).
(c) En déduire que le système :
admet une unique solution .
3. Soient l'unique solution du système (cf. question III.2c). on considère la suite définie par :
Montrer que pour tout .
En déduire que pour tout :

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