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Ecricome Maths approfondies ECS 2013

Epreuve de maths approfondies - ECS 2013

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Algèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Ecricome
Année
2013
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2013ECS MathématiquesMathématiques 2013

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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2013.

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CONCOURS D'ADMISSION 2013

1

Mathématiques

Option Scientifique
Mercredi 17 avril 2013 de 8h00 à 12h00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps" :
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

EXERCICE 1

On note :
  • l'ensemble des matrices colonnes (à lignes) à coefficients réels ;
  • l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels ;
  • la transposée d'une matrice ;
  • tel que et où est une matrice de .
On munit de son produit scalaire canonique et on note |||| sa norme associée.
On considère une matrice et un entier naturel non nul tels que . On pose alors .
  1. Calculer et établir que : .
  2. Démontrer que toutes les valeurs propres de sont réelles et positives.
  3. Prouver que : . Quelles sont les valeurs propres possibles de ?
  4. Justifier que : .
  5. Montrer que : puis que .
  6. Etablir que : .

EXERCICE 2

On considère :
  • la fonction définie sur par :
  • la suite définie par :
  1. Etude de .
    (a) Si ( ) un point critique de , justifier que puis déterminer tous les points critiques de ainsi que la valeur de en chacun de ses points critiques.
On admettra dans toute la suite que :
(b) Préciser le ou les extrémums de la fonction .
(c) Démontrer que la fonction possède un maximum et qu'elle n'est pas minorée.
2. Programmation de . Ecrire un programme en PASCAL demandant à l'utilisateur un entier ainsi que les valeurs initiales et calculant la valeur de correspondante.
3. Etude de la suite . On considère la suite définie par :
(a) Démontrer que : .
En déduire que : .
(b) Justifier que : .
(c) Etablir l'existence de quatre réels tels que :
puis étudier la convergence de la suite .

PROBLEME

Soit un réel, on note la partie réelle de c'est-à-dire l'unique entier tel que : .
Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ). On définit sur ( ) par :
On admet que est une variable aléatoire sur ( ), on l'appelle « la discrétisée de »
Le problème consiste :
  • à étudier quelques propriétés de la discrétisée de variables suivant quelques lois usuelles (PARTIE I)
  • puis à étudier plus spécifiquement le cas où les variables possèdent une densité définie par un polynôme (PARTIE II)
  • et enfin à établir qu'une variable discrète, satisfaisant à certaines conditions, est la variable discrétisée d'une variable à densité (PARTIE III).
Les parties I, II et III sont largement indépendantes.

PARTIE I : Calculs de discrétisées.

  1. En PASCAL,
  • la commande floor( x ) calcule la partie entière du réel ;
  • la commande random crée aléatoirement un réel appartenant à l'intervalle (qui suit en outre la loi uniforme sur ) ;
On rappelle que si suit la loi uniforme sur alors, pour suit la loi uniforme sur .
Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ( ) et sa discrétisée.
Ecrire une fonction PASCAL qui à un réel a (positif) fournit par l'utilisateur renvoie une réalisation de .
2. Soit une variable aléatoire possédant une densité . Montrer que :
  1. Soit un entier naturel non nul et une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle .
    Déterminer la loi de (on précisera les valeurs prises par ).
  2. Etablir que l'on définit bien une variable aléatoire discrète en posant :
Proposer une densité telle que si une variable aléatoire posséde pour densité alors sa discrétisée suit la loi de .
5. Soient une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre et un entier naturel non nul. On pose .
(a) Justifier que la variable possède une densité que l'on précisera.
(b) Donner la loi de la variable . Vérifier que suit une loi connue dont on donnera le nom et le paramètre.
(c) Soit , prouver que :
(d) Donner un encadrement simple de puis montrer que la suite converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

PARTIE II : Discrétisées et lois «polynômiales ».

On note l'ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels de degré au plus et on pose :
Si appartient à , on pose la fonction définie sur par :
  1. Pour tout entier , calculer puis exprimer en fonction de .
  2. Etablir la linéarité de et justifier que si alors .
  3. Etablir que la famille est une base de .
  4. Justifier que pour tout polynôme , il existe un unique polynôme tel que:
  1. En considérant , expliciter lorsque : .
  2. Soient un entier naturel et une variable aléatoire dont est une densité.
    (a) On suppose qu'il existe un entier naturel et un polynôme tels que :
Etablir l'existence d'un polynôme tel que
(b) On considère la variable aléatoire discrète définie par :
Montrer qu'il n'existe aucun polynôme tel que
et tel que soit la discrétisée de . Indication : procéder par l'absurde et constater que l'une des propriétés des densités n'est pas satisfaite.

PARTIE III. Variables dénombrables et discrétisées.

On considère une variable aléatoire définie sur ( ) ainsi qu'une fonction qui soit de classe sur et telles que :
En particulier, la série converge et
On suppose en outre que est décroissante et qu'il existe un réel tel que :
Pour tout réel , on pose :
  1. Soit . Prouver la convergence de la série . Quel est le signe de ?
  2. (a) Etablir que : ,
(b) Prouver l'existence d'un réel tel que :
Justifier la continuité de en tout réel .
3. Soit un réel positif, pour tout entier , on pose :
(a) Démontrer que : ,
puis que :
(b) Prouver que :
(c) Justifier que: et que :
  1. (a) Vérifier que :
puis que :
(b) Pour tout entier , on pose . Etablir que:
puis que :
En déduire la convergence de l'intégrale et préciser sa valeur.
(c) Démontrer que peut être considérée comme la densité d'une variable aléatoire et que sa discrétisée suit la même loi que .

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