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Ecricome Maths approfondies ECS 2012

Epreuve de maths approfondies - ECS 2012

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Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéairePolynômes et fractionsRéduction
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Ecricome
Année
2012
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2012.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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EXERCICE 1.

Soient et , on pose :
  1. Soit . Justifier que l'intégrale converge et donner sa valeur.
Soit . Justifier que l'intégrale converge.
Dans la suite de l'exercice, on admettra que l'intégrale converge.
2. Etablir que: puis que :
  1. Soient tels que . Etablir que : .
  2. Montrer que réalise une bijection continue strictement décroissante de sur .
  3. Prouver que l'équation admet une unique solution sur . On note cette solution. Justifier que .
  4. On considère la suite définie par : .
    (a) Etablir que: . En déduire la limite de .
    (b) On suppose qu'une fonction ECRICOME est déjà écrite en TurboPascal qui à un réel donné renvoie le réel .
    A l'aide de la fonction ECRICOME, écrire une fonction (ou procédure) SUITE en Turbo-Pascal qui, à un réel fourni par l'utilisateur, calcule le premier entier tel que et renvoie la valeur de correspondante.
  5. Soient et tel que . Démontrer que :
Justifier que est dérivable sur avec:
  1. On considère la fonction définie sur par : . Justifier que :

EXERCICE 2.

Pour tout entier naturel non nul, on note :
  • l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels;
  • la matrice identité de et la matrice nulle de .
Une matrice est dite nilpotente s'il existe tel que .
On admettra que si sont deux matrices de qui commutent alors :
  • et commutent pour tous entiers et ;
  • commute avec lorsque est inversible.
  1. Deux résultats préliminaires.
    (a) Soit et tel que .
Prouver que est inversible et que .
(b) Soit telle que . On désigne par l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
Soit . Vérifier que et puis établir que . L'endomorphisme est-il diagonalisable?
2. Etude d'une suite de matrices. Soient et tels que :
On introduit la suite de matrices de définie par :
On considère pour tout entier la proposition
est inversible, il existe tels que , et avec et »
(a) Justifier que est nilpotente et que est inversible. En déduire que la propriété ( ) est vraie.
(b) On suppose la propriété vraie pour un entier . Montrer que:
En déduire que la propriété ( ) est vraie.
(c) Prouver l'existence d'un entier tel que : .
Etablir que la matrice est diagonalisable, que la matrice est nilpotente et que : .

PROBLEME.

L'objectif du problème est d'étudier une suite de variables aléatoires . Les deux premières parties sont indépendantes et la troisième utilise certains résultats obtenus dans les deux premières parties. La partie est consacrée à l'étude de deux endomorphismes sur . La partie II consiste à calculer l'espérance et la variance de ainsi qu'à calculer la somme sous réserve de convergence. La partie III fournira la loi de ainsi que l'étude de la convergence de la série .

Partie I: Etude de deux endomorphismes.

Soit un entier naturel. On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus . Pour tout entier , on désigne par le polynôme de défini par :
Rappelons que ( ) est une base de . Si , on définit les fonctions et par:
  1. Prouver que est un endomorphisme de .
  2. Soit . Calculer puis justifier que .
  3. Démontrer que est un isomorphisme, que et que est un endomorphisme de .
  4. Ecrire la matrice de dans la base ( ) ainsi que la matrice de dans cette même base.
  5. Montrer que et sont diagonalisables.

Partie II : Etude d'une suite de variables aléatoires.

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On dispose de urnes notées et on suppose que , l'urne contient boules numérotées . On s'intéresse au jeu suivant :
  • au premier tirage, on pioche une boule dans l'urne . Si la boule porte le numéro alors on repose la boule dans l'urne puis le tirage suivant seffectue dans l'urne .
  • Plus généralement, pour tout entier non nul, si la boule numéro a été piochée au -ième tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la même urne puis on effectue le ( )-ième tirage dans l'urne .
    Pour tout entier naturel , on note:
  • est la variable aléatoire égale au numéro de la boule piochée au -ième tirage. On convient que .
  • est le polynôme de défini par: .
  • l'espérance de la variable .
  1. A l'aide de la formule des probabilités totales, prouver que :
  1. Etablir les deux formules suivantes valables pour tous entiers et
  1. On admet dans cette question que la série converge pour tout et on pose .
En sommant les relations ( ) sur tous les entiers , donner la valeur de .
En sommant les relations sur tous les entiers , donner la valeur de et montrer que la suite est constante.
4. Soit . Démontrer la relation
  1. (a) Soit . Etablir que et .
    (b) En dérivant une fois puis deux fois la relation , donner la relation de récurrence vérifiée par la suite ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite .
    (c) Donner la valeur de et de en fonction de et . Expliciter alors la variance de en fonction de et .

Partie III : Loi de chacune de ces variables aléatoires.

On reprend toutes les notations des parties et et on pourra admettre tous les résultats établis dans ces deux parties. Rappelons également qu'à la question II. 4 la relation ( ) est démontrée ce qui revient à écrire :
Pour finir, pour tout entier on désigne par le polynôme de définie par :
  1. Montrer que: .
  2. Prouver que ( ) est une base de .
  3. Calculer pour . Retrouver ainsi que est diagonalisable.
  4. Justifier que : et que: .
  5. Démontrer que : .
  6. Soient et . A l'aide des questions précédentes, établir que :
  1. Application.
    (a) Soit . Déterminer un réel tel que :
puis justifier que la série converge lorsque .
(b) Déterminer un réel tel que: .
La série est-elle convergente?

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