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Ecricome Maths approfondies ECS 2011

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continuesEquations différentiellesIntégrales généralisées
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Ecricome
Année
2011
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2011ECS MathématiquesMathématiques 2011

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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2011.

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Mathématiques
Option Scientifique

Mercredi 20 avril 2011 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps" :
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 8 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

Ecricome Option Scientifique sujet principal

EXERCICE 1.

Soit un entier naturel non nul, on considère l'espace vectoriel sur des polynômes de degré inférieur ou égal à .
Pour tout entier naturel , on note la dérivée -ième de .
On définit la famille de polynômes par :
  1. (a) Prouver que la famille ( ) est une base de .
    (b) Montrer que pour tout entier appartenant à , on a :
puis, pour tous les entiers vérifiant . donner une relation entre et .
(c) Soit . justifier l'existence d'un -uplet tel que :
puis établir que :
Ainsi on a établi la relation :
  1. On considère l'application définie sur par :
(a) Etablir que est un endomorphisme de .
(b) Ecrire la matrice de l'endomorphisme dans la base ( ) de .
(c) Déterminer le rang de ainsi que ses valeurs propres.
(d) La matrice est-elle diagonalisable ? (Une réponse argumentée est attendue)
3. On définit sur l'application .
(a) Démontrer que . é.
(b) Justifier que la famille ( ) est une base orthonormale de .

EXERCICE 2.

On considère :
  • la fonction définie sur par :
  • la fonction définie sur par :
  • l'ouvert de défini par :
  • la fonction définie sur l'ouvert et à valeurs réelles par :
où désigne l'exponentielle du réel c'est-à-dire que . On admet que est de classe sur .
L'objectif de cet exercice est de prouver que la fonction n'admet aucun extremum sur .
  1. Etudier les variations de sur , calculer et préciser le signe de .
  2. Prouver la convergence de la série et calculer sa somme.
  3. Soit . Exprimer la somme en fonction de et . On admettra la convergence de cette série.
  4. Justifier que :
  1. Soit . Montrer que ( ) est un point critique de si et seulement si :
  1. Soit un point critique de . Justifier l'existence d'un réel tel que :
  1. Prouver que (e.e) est l'unique point critique de .
  2. En comparant les signes des fonctions et . justifier que n'admet aucun extremum sur .

PROBLEME

La partie consiste à justifier que les variables et possèdent la même loi lorsque est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1.
La partie II a pour objectif d'établir que, pour chaque variable aléatoire possédant une densité avec continue sur et nulle sur . il n'existe aucune variable aléatoire à densité dérivable sur , nulle sur et vérifiant .
La partie III consistera à étudier les valeurs propres et vecteurs propres de l'application
linéaire introduite à la partie II..
Les parties I, II et III sont largement indépendantes.

PARTIE I. Etude des variables et .

Toutes les variables aléatoires considérées ici sont définies sur un même espace probabilisé ( ).
Soit une variable aléatoire, rappelons que :
  • désigne sa fonction de répartition définie par : .
  • suit la loi exponentielle de paramètre si et seulement si sa fonction de répartition est définie par :
où désigne l'exponentielle du réel c'est-à-dire que : .
On considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout entier naturel non nul, on note et les deux variables aléatoires définies respectivement par:
où désigne le maximum des valeurs de .
Pour finir, on désigne par la fonction définie sur par :
  1. On considère un tableau de nombres récls de taille 2011 (c'est-à-dire «X array[1...2011] of real>>) préalablement rempli.
    (a) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant les réels :
(b) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant le réel :
  1. (a) Pour tout réel , exprimer le réel à l'aide des réels . .
    (b) Pour tout réel , donner alors l'expression de en fonction de et en distinguant le cas et le cas .
    (c) Vérifier alors que la fonction est une densité de probabilité de la variable aléatoire .
  2. (a) Préciser la fonction de répartition de la variable aléatoire .
    (b) Démontrer que est une variable aléatoire à densité et proposer une densité .
  3. Pour tout réel . vérifier que : .
  4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul. est une variable aléatoire à densité dont est une densité. Indication : Pour l'hérédité, on remarquera que .

PARTIE II. Existence et unicité de la solution d'une équation différentielle.

On désigne par l'ensemble des fonctions continues de [ [ dans telles que l'intégrale converge. On admet que est un -espace vectoriel.
Pour toute fonction appartenant à . on considère l'équation différentielle
dont l'inconnue est la fonction qui est dérivable sur . On fixe dans cette partie une fonction appartenant à . Pour tout réel positif . on note :
  1. Soient deux fonctions appartenant à , dérivables sur et vérifiant l'équation ( ). On introduit la fonction définie sur par:
(a) Prouver que la fonction est constante sur .
(b) En utilisant le fait que la fonction appartient à , montrer que .
Nous avons ainsi établi qu'il existe au plus une solution dans à P'équation ( ) lorsque .
2. Pour tout réel positif . justifier la convergence de l'intégrale .
3. Etablir que la fonction est dérivable sur et que :
  1. On suppose uniquement dans cette question que est à valeurs dans c'est-à-dire que :
(a) Vérifier les relations suivantes:
(b) Prouver que l'intégrale converge et que:
  1. On revient au cas général où prend des valeurs non nécessairement positives.
    Montrer que l'intégrale converge.
  2. Soit une variable aléatoire possédant une densité avec continue sur et nulle sur .
    Justifier qu'il n'existe aucune densité dérivable sur , nulle sur et vérifiant sur .

PARTIE III. Etude de l'application .

A la partie II, on a établi que si appartient à . il existe une unique fonction
appartenant à telle que :
On considère alors l'application définie sur par :
  1. Etablir que est un endomorphisme de .
Définition : On dit que le réel est valeur propre de s'll existe une fonction de non identiquement nulle telle que . On dit que est un vecteur propre de associé à la valeur propre et on appelle sousespace propre de associé à l'espace vectoriel
La suite de cette partie est consacrée à la détermination des valeurs propres et des vecteurs propres de .
2. Pour tout réel . on considère la fonction définie sur par :
Vérifier que appartient à , que est un vecteur propre de et préciser la valeur propre associée.
3. Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé à la valeur propre .
(a) Montrer que est nécessairement non nul.
(b) Etablir que est dérivable et vérifie l'équation différentielle : .
(c) Pour tout réel positif . donner l'expression de en fonction de . et dune certaine constante.
(d) Montrer que .
4. Préciser l'ensemble des valeurs propres de et, pour chaque valeur propre de . proposer une base de l'espace propre .

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