Ecricome Maths approfondies ECS 2009
Epreuve de maths approfondies - ECS 2009
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Algèbre linéaireRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2009.
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Cericome
CONCOURS D'ADMISSION 2009
Mathématiques
Option Scientifique
Jeudi 14 mai 2009 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 6 pages.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
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Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
EXERCICE 1
Pour tout élément
On admet que
On note
Pour toutes matrices
Pour toutes matrices
où
Soit
- l'application
de dans définie par : - l'ensemble
formé des valeurs propres de , - l'ensemble
formé des valeurs de , - l'ensemble
formé des différences de deux valeurs propres quelconques de .
Le but de cet exercice est d'établir que les deux propriétés suivantes sont valables pour toute matrice symétrique à coefficients réels
★
★ les valeurs propres de
★ les valeurs propres de
PARTIE I : Etude d'un cas particulier
Dans cette partie uniquement, on suppose que
-
est un endomorphisme de , - la famille
est une base de où l'on a posé :
- Justifier que la matrice
de l'endomorphisme dans la base ( ) s'écrit :
En déduire la diagonalisabilité de
2. Vérifier que
3. Déterminer une base de l'espace propre associée à 0 de la matrice
4. Calculer
5. Expliciter alors une matrice inversible
2. Vérifier que
3. Déterminer une base de l'espace propre associée à 0 de la matrice
4. Calculer
5. Expliciter alors une matrice inversible
PARTIE II : Réduction de
On revient désormais au cas général,
- Montrer que
est un endomorphisme de . - Prouver que l'application
est un produit scalaire sur . - Etablir que, pour toutes matrices
appartenant à , on a :
En déduire que
4. Soient
4. Soient
-
un vecteur propre de associé à la valeur propre , -
un vecteur propre de associé à la valeur propre .
On pose alors :
(a) Justifier que
(b) Etablir que
5. Soit
(a) On suppose que pour tout vecteur propre
(b) Etablir que
5. Soit
(a) On suppose que pour tout vecteur propre
Montrer alors que
En déduire qu'il existe au moins un vecteur propre
On note
(b) En revenant à l'expression de
(c) Conclure.
En déduire qu'il existe au moins un vecteur propre
On note
(b) En revenant à l'expression de
(c) Conclure.
EXERCICE 2
Le but de l'exercice est l'étude de la fonction
- Domaine de définition de
:
(a) Justifier que pour tout réel, l'intégrale est convergente et donner sa valeur.
(b) Soitun réel fixé. Etablir la convergence de l'intégrale .
Par conséquent,
2. Branche infinie de la courbe représentative de
(a) Vérifier l'encadrement suivant, pour tout réel
2. Branche infinie de la courbe représentative de
(a) Vérifier l'encadrement suivant, pour tout réel
(b) Prouver que, pour tout réel
(c) Préciser alors la nature de la branche infinie de la courbe représentative de
3. Dérivabilité et monotonie de
(a) A l'aide du changement de variable
3. Dérivabilité et monotonie de
(a) A l'aide du changement de variable
(b) Montrer que la fonction
(c) Justifier, pour tout réel
En déduire que
4. Etude locale de
(a) Justifier que la formule suivante est valable pour tout réel
4. Etude locale de
(a) Justifier que la formule suivante est valable pour tout réel
et que l'intégrale
(b) A l'aide des questions précédentes, démontrer alors que l'on a:
(b) A l'aide des questions précédentes, démontrer alors que l'on a:
(c) En déduire que
PROBLEME
Dans tout le problème,
On considère une urne contenant initialement
On considère une urne contenant initialement
- lorsque la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne avant de procéder au tirage suivant,
- lorsque la boule tirée est noire, elle n'est pas remise dans l'urne, mais remplacée dans cette urne par une boule blanche et l'on procède alors au tirage suivant.
PARTIE I
Soient (
- Préciser soigneusement l'ensemble des valeurs prises par la variable
. - Pour tout entier
compris entre 1 et , calculer la valeur de la probabilité . - Vérifier que
et que, pour tout entier
- Soient
un entier naturel non nul et une famille de réels. Etablir que :
- En déduire que
.
PARTIE II
Dans cette partie on note :
- pour tout entier
la probabilité de l'événement, noté : « la -ième boule tirée est noire ». - pour tout entier
le nombre aléatoire de boules noires obtenues au cours des premiers tirages. Par convention . - pour tous entiers
et la probabilité de l'événement : « au cours des premiers tirages, on a obtenu exactement boules noires ».
On remarquera que
1 Shit
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