Ecricome Maths approfondies ECS 2007
Epreuve de maths approfondies - ECS 2007
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continuesStatistiques
Téléchargements disponibles
LaTeX →
Word →Description
Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2007.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
1 Mathématiques
Option Scientifique
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
8 h
8 h
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
1. EXERCICE.
- A l'aide de développements limités usuels que l'on rappellera clairement, montrer que lorsque
est au voisinage de 0 on a
- a. Montrer que pour tout entier
supérieur ou égal à 2 , on a :
b. En déduire le signe de
c. Quelle est la nature de la série de terme général
d. Pour
c. Quelle est la nature de la série de terme général
d. Pour
Déterminer
- a. Montrer que
b. Déterminer un équivalent, quand
c. En déduire que
4. On pose
c. En déduire que
4. On pose
a. Etudier le sens de variations de la suite
b. Montrer que les suites
c. En déduire la nature de la série de terme général
b. Montrer que les suites
c. En déduire la nature de la série de terme général
2. EXERCICE.
On admet que
On note
- Soit
l'application définie sur par :
Exprimer
On note
2. Soient
On note
2. Soient
a. Justifier l'existence de
où
On notera par la suite
b. Soit
On notera par la suite
b. Soit
En calculant
c. On pose
c. On pose
d. Montrer que
e. On note
où |.|| désigne la norme euclidienne canonique de
Qu'en déduit-on, pour
f. Montrer que
Qu'en déduit-on, pour
f. Montrer que
puis conclure que
3. PROBLEME.
Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants.
3.1. Préliminaire
On considère deux variables aléatoires à densité
- Montrer que pour tout nombre réel
,
- a. En étudiant le signe du trinôme précédent, montrer que
b. A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité
3.2. Partie I: Etude d'une fonction de deux variables
- Justifier que
est de classe sur l'ouvert .
Montrer que
2. Montrer que
2. Montrer que
Montrer que ce résultat est encore vrai pour tout
3. Soit
3. Soit
Montrer que
4. Déduire de ce qui précède que
4. Déduire de ce qui précède que
3.3. Partie II : Etude d'une loi
Soit
- Vérifier que
est bien une densité de variable aléatoire. On note la loi associée.
On considère désormais une variable aléatoire
2. Déterminer la fonction de répartition de
3. On pose
2. Déterminer la fonction de répartition de
3. On pose
En déduire
4. Soit
5. Simulation de la loi
a. Soit
4. Soit
5. Simulation de la loi
a. Soit
Montrer que la variable aléatoire
b. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur
Ecrire, en langage Pascal, une fonction tirage, de paramètres a et b simulant une variable aléatoire de loi
b. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur
Ecrire, en langage Pascal, une fonction tirage, de paramètres a et b simulant une variable aléatoire de loi
3.4. Partie III : Estimation des paramètres
Pour
Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs de
- La fonction tirage, ainsi que les variables informatiques
de type real et de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il simule et (les valeurs étant stockées
respectivement danset ).
begin
randomize ;
readln(a,b,n) ;
X:=tirage(a,b) ;
S:=... ;
Y:=...;
for i:= 2 to n do...
......
......
......
...
end.
- Déterminer l'espérance et la variance de
. - Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire
? En déduire une densité de . - Déterminer la fonction de répartition de
.
En déduire que
Donner les valeurs de
5. a. Calculer le biais ainsi que le risque quadratique de
b. Rappeler l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2.
A l'aide de ce qui précède, prouver que (
6. On pose
a. Calculer le biais de
b. On note
Donner les valeurs de
5. a. Calculer le biais ainsi que le risque quadratique de
b. Rappeler l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2.
A l'aide de ce qui précède, prouver que (
6. On pose
a. Calculer le biais de
b. On note
c. A l'aide du préliminaire montrer que
et en déduire que (
7. Pour un échantillon donné (
7. Pour un échantillon donné (
a. Montrer que
b. Comparer les estimations de
b. Comparer les estimations de
Pas de description pour le moment