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Ecricome Maths approfondies ECS 2005

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

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Algèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctionsProbabilités continuesStatistiquesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Ecricome
Année
2005
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2005.

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CONCOURS D'ADMISSION 2005

MATHÉMATIQUES Option Scientifique

Lundi 2 mai 2005 de 8 h00 à 12 h00Durée : 4 heures

Candidat bénéficiant de la mesure «Tiers-temps»: 8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé. Aucun instrument de calcul n'est autorisé.

L'énoncé comporte 6 pages

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

1. EXERCICE

L'espace est muni de son produit scalaire usuel. Trois réels étant donnés, on pose :
  1. Déterminer trois matrices dont les coefficients ne dépendent pas de ,telles que :
Calculer et . Déterminer une relation entre et , ainsi qu'un polynôme annulateur de .
Quelles sont les valeurs propres possibles de ?
2. Justifier qu'il existe une matrice inversible, telle que soit une matrice diagonale.
Déterminer et vérifiant les conditions précédentes et telles que (où est le coefficient d'indices de .)
3. En écrivant en fonction de , déterminer la matrice . En déduire les valeurs propres de la matrice .
Discuter suivant les valeurs de le nombre de valeurs propres distinctes de et préciser dans chaque cas les sous-espaces propres associés.
4. On suppose dans cette question et on note .
On pose , où
a. On définit la fonction sur par :
i. Montrer que puis que
ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de sur et déterminer les points en lesquels ils sont atteints.
b. On cherche désormais à résoudre l'équation d'inconnue .
i. Soit une solution de l'équation (s'il en existe).
Montrer que et commutent.
En déduire que si appartient au sous-espace propre de attaché à la valeur propre , alors appartient aussi à .
Montrer que les vecteurs propres de sont également vecteurs propres de .
Justifier alors que est une matrice diagonale.
ii. Résoudre l'équation d'inconnue et donner le nombre de solutions de l'équation .

2. EXERCICE.

On définit une suite réelle par :
  1. Montrer que pour tout entier .
a. Montrer que :
b. En déduire que pour tout entier puis que la suite converge vers 0 .
c. Montrer que la suite converge vers 0 , puis en remarquant que, pour tout entier non nul, , en déduire un équivalent de en .
3. On pose . A l'aide d'un développement limité en 0 de , montrer que la suite admet une limite que l'on précisera.
4. Calculer
Justifier alors qu'il existe un entier naturel tel que pour tout entier , si alors .
Montrer que est du signe de , puis que la suite ( ) est croissante à partir d'un certain rang.
5. Ecrire en langage Pascal une fonction récursive ayant pour nom suite qui calcule le terme d'indice de la suite lorsque .

3. PROBLEME.

et étant deux variables aléatoires réelles, définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, admettant pour densités respectives et , on rappelle que la fonction définie par
est une densité de la variable aléatoire .

Partie I: Un calcul d'intégrale.

  1. Déterminer pour quelles valeurs du réel l'intégrale converge où
  1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout réel supérieur ou égal à 1 on a :
En déduire que, pour tout réel supérieur ou égal à 1 on a :
  1. Calculer .
Pour entier supérieur ou égal à 1 , calculer .

Partie II : Loi de Student à degrés de liberté.

Pour , on définit sur la fonction par :
  1. Justifier que, pour tout , il existe un réel tel que la fonction soit une densité de probabilité.
    Exprimer à l'aide de . (On pourra, en justifiant sa validité, utiliser le changement de variables ).
  2. Soient ( ) un espace probabilisé et une variable aléatoire définie sur ( ), de densité . (On dira que suit une loi de Student à degrés de liberté).
    a. Montrer que admet une espérance si et seulement si et la calculer dans ce cas.
    b. Montrer que admet une variance si et seulement si , exprimer en fonction de et puis vérifier que
Lorsque la loi de Student à 1 degré de liberté s'appelle loi de Cauchy et une densité sur est donc :

Partie III : Simulation d'une loi.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( ), un rayon lumineux part de l'origine et frappe un écran représenté par la droite d'équation , en un point . On suppose que , mesure de l'angle ( ), est une variable aléatoire de loi uniforme sur .
  1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire . En déduire que est une variable aléatoire à densité, dont on explicitera une densité.
  2. Exprimer , variable aléatoire égale à l'ordonnée du point , en fonction de . Reconnaître la loi de .
  3. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random simule une variable aléatoire de loi uniforme sur . On considère le programme informatique suivant :
program simu;
var u,x:real;
begin
randomize;
u:=random;
x:= = sin}(pi*u-pi/2)
end.
Quelle loi de probabilité ce programme permet-il de simuler ? Expliquer.

Partie IV : Obtention d'une loi de Cauchy à partir de lois normales.

On considère un espace probabilisé ( ).
  1. Soit une variable aléatoire définie sur ( ), de fonction de répartition . On notera la fonction de répartition de la variable aléatoire .
    a. On suppose dans cette question que est une variable aléatoire de densité continue sur .
    Exprimer une densité de à l'aide de et montrer que et ont même loi si et seulement si est paire.
    On suppose cette condition vérifiée. Exprimer à l'aide de et montrer que est une variable aléatoire à densité. Exprimer une densité de en fonction de .
    b. Inversement, on suppose dans cette question que est une variable aléatoire de densité , et que et ont la même loi.
    Montrer que, pour tout réel , puis exprimer en fonction de
    Exprimer en fonction de et de . (on pourra distinguer deux cas : et ).
    En déduire que est une variable à densité et exprimer une densité de en fonction de .
  2. Soit e un réel strictement positif. A l'aide du changement de variable , montrer que l'intégrale
converge et la calculer.
3. Soient et deux variables aléatoires définies sur ( ), indépendantes, à valeurs dans , de même densité définie par :
a. Montrer que la variable aléatoire est une variable aléatoire à densité, et en déterminer une densité. Quelle est une densité de la variable aléatoire ?
b. Montrer qu'une densité de la variable aléatoire est domnée par :
c. Déterminer une densité de la variable aléatoire puis reconnaitre la loi de .

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