Ecricome Maths approfondies ECS 2004

1. EXERCICE.

1. Justifier l'existence d'une matrice inversible telle que la matrice soit une matrice diagonale.
   Dans la suite de l'exercice un entier naturel impair est fixé.
2. On considère l'application de dans qui à tout polynôme fait correspondre le vecteur de défini par :

3. Prouver que le polynôme , défini par :

5. On considère les deux matrices et de suivantes :

2. EXERCICE.

2.1. Etude de la bijection réciproque de .

1. Montrer que réalise une bijection de dans un intervalle que l'on précisera. On note la bijection réciproque.
2. Donner sur le même graphique l'allure des courbes représentatives de et de .
3. Justifier que:

4. Montrer que est dérivable sur et montrer que :

5. En déduire le développement limité en de à l'ordre 1 .

2.2. Etude des dérivées successives de .

1. Justifier que est de classe sur , on note la dérivée de sur .
2. Montrer que pour tout entier naturel non nul, il existe un polynôme tel que:

3. Déterminer les polynômes et .
4. Montrer que :

2.3. Etude de la suite d'intégrales.

1. Justifier que la suite est bien définie. Calculer .
2. Déterminer les réels et , tels que :

3. En posant , déterminer .
4. Déterminer le sens de variation de la suite .
5. Montrer que :

3. PROBLEME.

3.1. Etude d'une variable discrète d'univers image fini.

• On choisit l'urne avec la probabilité [, l'urne avec la probabilité .
• On met une boule dans l'urne choisie.
• On répète cette épreuve autant de fois qu'il est nécessaire pour que l'une des urnes ou soit pleine, c'est-à-dire contienne boules pour l'urne ou contienne boules pour l'urne , les choix des urnes étant mutuellement indépendants.

3.1.1. Préliminaires.

1. Calculer et, pour tout entier , le rapport .
2. Démontrer que pour tout entier :

3. Donner le sens de variation de la suite , et montrer qu'elle converge vers un réel tel que :

3.1.2. Etude de cas particuliers.

1. Donner les lois de et . Justifier vos calculs.
2. Calculer l'espérance et la variance de et .

6. Par sommation de la relation qui précède, en déduire que :

7. Donner alors un équivalent de quand tend vers plus l'infini.
8. De façon analogue, montrer que :

9. En déduire l'expression de en fonction de et .
10. Ecrire un algorithme, en langage Pascal, permettant de calculer l'espérance de , l'entier étant donné par l'utilisateur.

3.1.3. Retour au cas général.

1. En utilisant un argument probabiliste, montrer que:

2. On pose
   a. Etudier le sens de variation de la suite et donner à l'aide de la relation (1) un majorant de ne dépendant pas de .
   Etablir alors la convergence de la suite .
   b. Pour , donner un équivalent de lorsque tend vers .
   c. En déduire l'existence et la valeur de la limite suivante :

3.2. Etude d'une variable discrète d'univers image infini.

• On choisit l'urne avec la probabilité , l'urne avec la probabilité .
• On met une boule dans l'urne choisie.
• On répète cette épreuve autant de fois qu'il est nécessaire pour que l'urne soit pleine, c'est-à-dire contienne boules, les choix successifs des urnes étant mutuellement indépendants.
  On note alors le nombre (éventuellement nul) de boules contenues dans l'urne et , les variables aléatoires définies de la façon suivante :
• compte le nombre de boules mises dans avant de mettre la première boule dans A.
• Pour tout entier de compte le nombre de boules mises dans entre la boule et la boule mises dans .
  On admet que est une variable aléatoire.

1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable ?
2. Pour tout entier naturel appartenant à , donner la valeur de .
3. Vérifier que :

4. Pour tout entier de , donner la loi, l'espérance, la variance de .
5. Exprimer en fonction des variables et de l'entier .
6. En déduire l'espérance et la variance de la variable .