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Ecricome Maths approfondies ECS 2002

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continues
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Ecricome
Année
2002
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2002.

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CONCOURS D'ADMISSION 2002

option scientifique

MATHÉMATIQUES

mercredi 22 mai 2002 de 8 h 00 à 12 h 00
durée : 4 heures
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

1. EXERCICE.

désigne un espace vectoriel sur le corps des nombres complexes.
l'identité de l'endomorphisme nul.
l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.
Pour tout représente l'ensemble des polynômes à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à l'entier .
Si est un endomorphisme de , on définit par :
Pour tout polynôme de tel que : , on note l'endomorphisme de égal à :
On rappelle que pour tous polynômes de on a :

Puissance d'un endomorphisme.

On désigne par le polynôme de défini par :
et par un endomorphisme de satisfaisant à la relation:
  1. Montrer que 1 est la seule racine réelle de . Soient et les deux autres racines non réelles et conjuguées. Calculer et .
  2. On désigne par l'application qui, à tout polynôme de associe le reste dans la division euclidienne de par .
    a. Rappeler le théorème de la division des polynômes suivant les puissances décroissantes.
    b. Montrer que est un endomorphisme de .
    c. L'endomorphisme est-il injectif ? Est-il surjectif ?
  3. On note , les polynômes définis par:
a. Montrer que est une base de .
b. Montrer que pour tout de , il existe un unique triplet ( ) appartenant à tel que :
et exprimer en fonction de . Vérifier que .
c. Prouver que pour tout de :
d. Justifier la convergence des suites vers des réels respectifs .
4. On pose .
a. Montrer que .
b. Prouver enfin que est un projecteur.

2. EXERCICE.

On se propose ici d'étudier la série de terme général :
où est un réel quelconque et un réel défini par:

2.1. Etude de l'absolue convergence de la série.

  1. Prouver que pour tout entier naturel :
  1. Pour , la série de terme général est-elle absolument convergente ?
  2. Donner une condition nécessaire et suffisante, sur , pour que la série de terme général soit absolument convergente.
    2.2. Somme de la série pour .
On suppose maintenant, .
  1. Pour , montrer que :
  1. Justifier l'existence de l'intégrale:
  2. On pose
Montrer que pour tous les entiers naturels :
  1. En déduire la convergence et la somme de la série de terme général .
  2. Donner la valeur de , puis établir la relation de récurrence suivante :
  1. Ecrire en PASCAL un algorithme permettant d'obtenir une valeur approchée de à près, le réel et l'entier étant supposés dornés.

3. PROBLEME.

Deux biens et indéfiniment divisibles sont disponibles sur le marché. On appelle "panier de biens" tout couple ( ) de nombres réels appartenant à l'ensemble suivant :
désignent respectivement les quantités du bien et du bien qui peuvent être physiquement consommés par un agent économique.
Sur le marché, le prix unitaire de chacun de ces deux biens est égal à 1 .
On considère un consommateur ayant un revenu égal à 8 .
Les paniers de biens accessibles budgétairement par ce consommateur appartiennent donc à l'ensemble des couples de tels que .
Les préférences de ce consommateur sur , sont définies de la façon suivante :
est préféré ou indifférent à si et seulement si
L'application définie sur par :
s'appelle la fonction d'utilité du consommateur.

3.1. Propriétés de la relation de préférence.

  1. Justifier les propositions suivantes:
    a. est préféré ou indifférent à .
    b. est préféré ou indifférent à ( ) et si ( ) est préféré ou indifférent à ( ) alors ( ) est préféré ou indifférent à ( ).
    c. est préféré ou indifférent à ou est préféré ou indifférent à .

3.2. Courbes d'indifférence.

  1. Représenter graphiquement l'ensemble dans un repère orthonormé (unités 1 cm sur chacun des axes) et déterminer les coordonnées des cinq sommets du polygone constituant le bord de .
  2. Dans ce qui suit, pour réel, on désigne par l'ensemble défini par :
a. Déterminer la fonction numérique telle que, pour fixé on ait, pour tout élément de .
b. Etudier et représenter dans le même repère que celui de la question 3.2.1, la fonction pour .
c. Déterminer pour que la courbe représentative de soit tangente à la droite d'équation :
Représenter sur le graphique.

3.3. Recherche d'un élément maximal sur pour la relation de préférence.

  1. On admet que est un fermé de . Montrer qu'il est borné.
  2. Justifier l'existence d'un couple ( ) de préféré ou indifférent à tous les couples de .
  3. On note l'ouvert de des couples solutions du système :
Montrer que n'admet pas d'extremum local sur .
4. On étudie dans cette question le maximum de la fonction sur , sous la contrainte
a. Montrer que ce problème se ramène à déterminer le maximum de la fonction de la variable réelle, définie sur par :
b. Déterminer ce maximum après avoir justifié son existence.
5. Etudier de même la recherche du maximum de la fonction sur , sous chacune des quatre autres contraintes:
  1. Déduire de ce qui précède la valeur du couple ( ).

3.4. Etude de deux tests d'arrêt.

On considère l'épreuve qui consiste à effectuer une série de sondages sur un ensemble de consommateurs du bien .
Toute personne interrogée se voit attribuer un numéro.
Pour tout de , le numéro affecté au è consommateur interrogé est une variable aléatoire.
Les variables sont mutuellement indépendantes.
On définit deux tests qui conditionnent l'arrêt de l'enquête :
  • Test : le sondage s'arrête dès que le numéro d'un consommateur est supérieur ou égal au numéro du consommateur précédemment interrogé.
  • Test II : le sondage s'arrête dès que la somme des numéros des consommateurs est supérieure strictement à l'entier , avec supérieur ou égal à 2 .
    Enfin, on note (respectivement ) la variable aléatoire réelle discrète égale au nombre de personnes interrogées, l'enquête ayant été interrompue par le Test I (respectivement le Test II).

3.4.1. Partie 1

On suppose que les variables suivent la même loi, une loi uniforme sur l'ensemble .
Par convention : pour .

Etude d'un cas particulier.

  1. Pour cette question seulement, .
    a. Donner la loi des variables et .
    b. Calculer leur espérance et leur variance.

Etude de la loi de .

  1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable ?
  2. Montrer que pour tout entier , la probabilité de l'événement est donnée par :
En déduire la loi de .
3. Montrer que l'espérance de est donnée par :
  1. De même, prouver que :
En déduire la variance de en fonction de .
5. Donner les limites de et lorsque tend vers l'infini .

Etude de la loi de .

  1. Montrer que, pour tous entiers naturels :
  1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable ?
  2. Par récurrence sur l'entier inférieur ou égal à , prouver que :
  1. En déduire la loi de .
  2. Quelle est votre conclusion ?

3.4.2.- Partie 2

On suppose que les variables sont des variables aléatoires absolument continues qui suivent une loi uniforme sur le segment .
  1. Montrer que la densité de probabilité d'une somme de variables aléatoires, indépendantes, suivant la même loi uniforme sur le segment , est donnée sur l'intervalle par :
  1. Prouver que si la variable suit une loi uniforme sur le segment , alors la variable , définie par , suit une loi uniforme sur le segment .
  2. En déduire la loi de .

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