Ecricome Maths approfondies ECS 2001
Epreuve de maths approfondies - ECS 2001
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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensInformatiqueSuites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2001.
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CONCOURS D'ADMISSION 2001
Option scientifique
MATHÉMATIQUES
Mardi 24 avril 2001 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures
Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.
Exercice 1
Soient a et
- Déterminer la fonction de répartition, puis une densité, de la variable aléatoire -
. - Montrer que
- admet une densité, notée , définie par :
On considère la variable aléatoire
3) Soit
4) a) Montrer que
b) Montrer que
3) Soit
4) a) Montrer que
b) Montrer que
Exercice 2
Soient
- Montrer que l'application tr qui à tout élément de
associe sa trace, est une forme linéaire sur . - a) Soit
une matrice de . Montrer que .
b) En déduire que, pour tout couple () de matrices de , on a . - Soit
un élément de . Montrer que est la somme des carrés des coefficients de . - Montrer, à l'aide des questions précédentes, que g est un produit scalaire sur
.
Soit
- a) Montrer que
est un automorphisme de .
b) Soit U la matrice de f dans la base. Montrer que et que .
On suppose, pour les deux questions suivantes, que
6) Calculer
7) On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille (
6) Calculer
7) On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille (
Problème
Dans tout le problème, n est un entier positif ou nul, a un entier pair supérieur ou égal à 4 et p un réel tel que
Un jeu est une succession de jets d'une pièce qui fait pile avec la probabilité p. Un joueur dispose initialement d'une fortune a. On note
avant le lancer
On étudie, dans ce problème, deux exemples ( parties 1 et 2 ) dans lesquels les mises
Un jeu est une succession de jets d'une pièce qui fait pile avec la probabilité p. Un joueur dispose initialement d'une fortune a. On note
avant le lancer
On étudie, dans ce problème, deux exemples ( parties 1 et 2 ) dans lesquels les mises
Résultats préliminaires .
- Pour tout entier positif ou nul
, montrer que prend ses valeurs dans .
Pour tout entier positif ou nul
2) a) Calculer
b) Que représente concrètement
c) Montrer que
3) Montrer que le polynôme
2) a) Calculer
b) Que représente concrètement
c) Montrer que
3) Montrer que le polynôme
Première partie
Soit n un entier positif ou nul et k un entier tel que
- Etablir, pour tout entier
tel que , l'égalité . (On pourra utiliser le système complet d'événements constitué par les deux résultats possibles du lancer .) - En déduire, pour tout entier
tel que , une expression sommatoire de . - Montrer que pour
appartenant à . - En déduire, pour
appartenant à IR , l'égalité : - Prouver, en dérivant deux fois cette égalité, que pour tout
, on a .
Deuxième partie (Les deux sous parties A et B sont indépendantes)
On suppose maintenant que la loi conditionnelle de la variable
A) Simulation informatique de l'expérience
On considère le programme suivant :
program simulation;
var a,n,i,X,F:integer;
r,p:real;
function mise(m : integer, s : real): integer;
..................
end;
begin
randomize ; readln (n); readln(p); readln(r); readln(a);F:=a;
for i:= 1 to n do
begin X:=mise(F,r);
if random < p then
end;
end.
La fonction " random " est une fonction sans argument. A son appel, l'ordinateur génère un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 , nombre qui suit une loi uniforme sur
La fonction " mise " est une fonction qui simule une loi bino̊miale de paramètres
- Rédiger les lignes manquantes ( déclarations et instructions ) dans la définition de la fonction "mise ".
- Rédiger les instructions manquantes du corps principal du programme de telle sorte que celui-ci calcule et affiche les fortunes successives
du joueur, les paramètres étant fournis par l'utilisateur.
B) Etude théorique
Dans toute cette partie, on posera
- En procédant comme dans les trois premières questions de la première partie, montrer que pour tout réel x et tout entier
, on a: .
Dans les questions 2 et 3, on suppose que
On considère le trinôme
2) a) Montrer, pour tout réel
b) Montrer que l'intervalle
c) Montrer que la suite
3) a) Montrer, en utilisant (2) et la convexité de
b) Etablir, pour tout entier
On considère le trinôme
2) a) Montrer, pour tout réel
b) Montrer que l'intervalle
c) Montrer que la suite
3) a) Montrer, en utilisant (2) et la convexité de
b) Etablir, pour tout entier
On revient au cas général p quelconque.
4) a) Montrer à l'aide de (2), que la suite
b) En posant
c) Montrer que si la suite
5) a) Pour tout entier
b) Montrer que la suite de terme général
c) En déduire, pour tout entier
4) a) Montrer à l'aide de (2), que la suite
b) En posant
c) Montrer que si la suite
5) a) Pour tout entier
b) Montrer que la suite de terme général
c) En déduire, pour tout entier
On suppose, dans cette demière question, que
6) a) Calculer les trois réel
b) Montrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev, que la probabilité
6) a) Calculer les trois réel
b) Montrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev, que la probabilité
Fin de l'épreuve
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