Séries et familles sommablesSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireRéductionCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continues
Mardi 15 avril 2025 de 8 h00 à 12 h00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » :
8h00-13h20
L'énoncé comporte 5 pages.
INSTRUCTIONS
Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communicants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.
Exercice 1
(a) Justifier que la série converge.
(b) Montrer que la série converge.
(c) Montrer que la série converge.
On note
Montrer que et .
(a) Montrer que, pour tout couple ( ) de réels, .
(b) Montrer par récurrence sur que
On considère deux réels et tels que et une fonction de classe sur .
(a) Montrer qu'il existe un réel tel que :
(b) Montrer que .
(c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
Soit la fonction définie sur par
(a) Justifier que est de classe sur et déterminer .
(b) Déterminer et en déduire que se prolonge par continuité en 0 .
On notera encore la fonction ainsi prolongée.
(c) Montrer que est une fonction de classe sur .
(d) Soit la fonction définie sur par
On admet que .
Justifier que la fonction se prolonge en une fonction de classe sur .
6. (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul,
(b) En déduire, pour tout entier naturel non nul, que
(a) Montrer que .
(b) En déduire les valeurs de et .
Exercice 2
Soit et .
Partie 1
(a) Justifier que la famille ( ) est liée.
(b) En déduire qu'il existe un polynôme annulateur non nul de de degré inférieur ou égal à 9 .
On admet que la fonction définie sur par est un polynôme annulateur de .
(a) Écrire une fonction, en langage Python, nommée PolyAnn prenant en entrée une matrice et renvoyant True si est bien un polynôme annulateur de et False sinon.
(b) Montrer que est inversible et exprimer en fonction de et .
(a) Montrer que si est une valeur propre de , alors .
(b) En étudiant la fonction , montrer que admet au plus une valeur propre réelle et qu'elle est strictement supérieure à 4 .
On admet que .
(c) La matrice est-elle diagonalisable?
Partie 2
On pose .
4. Justifier que est symétrique.
5. Montrer que les valeurs propres de sont strictement positives.
6. Justifier qu'il existe une matrice diagonale et une matrice orthogonale telles que .
On admet que .
7. (a) Combien existe-t-il de matrices diagonales telles que ?
On note, dans la suite de l'exercice, une telle matrice diagonale.
(b) Justifier que est inversible.
8. Montrer qu'il existe une matrice symétrique réelle telle que .
9. Justifier que est inversible et exprimer en fonction de et .
10. On note .
Montrer que est une matrice orthogonale.
Partie 3
On admet qu'il existe une matrice diagonale vérifiant et dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs. On considère désormais cette matrice et les matrices et définies dans la partie précédente, associées à cette matrice, c'est-à-dire où est définie à la question est symétrique réelle et inversible, et est orthogonale.
11. Montrer que les valeurs propres de sont strictement positives.
On suppose qu'il existe une matrice orthogonale et une matrice symétrique réelle à valeurs propres strictement positives telles que .
On pose et et les vecteurs colonnes de où est définie à la question 6 .
12. Montrer que et que .
13. Montrer que et commutent.
14. Soit un entier de .
(a) Justifier que où est le vecteur colonne dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne qui vaut 1 .
(b) Justifier que est un vecteur propre de . On note la valeur propre associée.
(c) Montrer que appartient au sous-espace propre de associé à .
(d) Montrer que et sont colinéaires.
15. Montrer que est diagonale.
16. Montrer que puis que .
17. Montrer que .
Problème
Partie 1
Soit et deux réels.
(a) Déterminer un équivalent simple de au voisinage de 0 .
(b) En déduire que l'intégrale converge si et seulement si .
(c) Montrer, à l'aide du changement de variable , que les intégrales
sont de même nature.
(d) En déduire que
On note désormais, pour tout couple de réels strictement positifs, .
2. Montrer que
Soit , calculer .
(a) Montrer que
(b) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que
(c) En déduire que
Montrer que :
Partie 2
On définit la fonction sur .
On rappelle que cette fonction est bien définie sur et que pour tout réel strictement positif, .
(a) Déterminer, pour tout entier naturel en fonction de .
(b) Calculer . On pourra utiliser le changement de variable .
Soit , on définit
7. (a) Justifier que converge.
(b) Montrer que est une densité de probabilité.
8. (a) Reconnaître la loi de une variable aléatoire à densité de densité .
Préciser l'espérance et la variance de .
(b) Reconnaître la loi de une variable aléatoire à densité de densité .
Préciser l'espérance de et montrer que admet une variance et la déterminer.
9. Soit une variable aléatoire à densité de densité .
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire .
(b) Montrer que admet une espérance et une variance et les calculer.
10. Soit et deux variables aléatoires à densité indépendantes de densités respectives et , où , an et sont trois réels strictement positifs.
(a) Montrer que admet pour densité la fonction
(b) En déduire que
(c) Que vaut ?
Partie 3
On suppose dans cette partie et pour les questions d'informatique que les bibliothèques suivantes sont importées ainsi :
import numpy as np
import numpy.random as rd
Soit ( ) un couple de réels strictement positifs.
(a) Soit une variable aléatoire de loi uniforme sur .
Montrer que admet une espérance et la déterminer en fonction de et .
On admet que admet une variance.
(b) Écrire une fonction, en langage Python, nommée Simul qui prend en entrée deux réels et strictement positifs et qui renvoie une simulation de .
(c) Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur .
Montrer que la suite converge en probabilité vers la variable aléatoire certaine où pour tout entier naturel non nul .
(d) Écrire une fonction, en langage Python, nommée Rn qui prend en entrée deux réels et strictement positifs et un entier et qui renvoie une simulation de .
(e) Dans la figure suivante, sont représentées différentes simulations de en fonction de pour . Quel résultat de la partie 2 illustre-t-on?
12. Soit un réel supérieur ou égal à 1 .
(a) Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1 .
Montrer que admet une espérance et une variance et les donner.
(b) Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de même de loi exponentielle de paramètre 1 .
On définit, pour tout entier naturel non nul .
Montrer que est un estimateur convergent et sans biais de
(c) Expliquer ce que renvoie la fonction Myst suivante :
def Myst(n):
U = rd.random(n)
X = -np.log(1-U)
return(X)
(d) Compléter la fonction suivante afin qu'elle renvoie une valeur approchée de .
def Approx(n, a):
X = Myst(n)
..... # plusieurs lignes sont possibles
