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Ecricome Maths appliquees ECE 2022

Epreuve de maths appliquees - ECE 2022

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatique
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Ecricome
Année
2022
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2022ECE MathématiquesMathématiques 2022

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Description

Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2022.

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Ccricome

Mathématiques

Option Économique

Lundi 25 avril 2022 de 8 hOO à 12 h 00

Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 4 pages.

CONSIGNES

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

Exercice 1

Dans tout l'exercice, désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. On notera respectivement et la matrice identité et la matrice nulle de .
Soit l'ensemble des matrices de de la forme , où et sont des réels quelconques. Soit l'ensemble des matrices de telles que .

Partie I

  1. est-il un sous-espace vectoriel de ? Si oui, déterminer une base de et préciser la dimension de .
  2. est-il un sous-espace vectoriel de ? Si oui, déterminer une base de et préciser la dimension de .
  3. Soit
    (a) Démontrer que .
    (b) En déduire un polynôme annulateur de .
    (c) Déterminer les valeurs propres de , et donner une base de chaque sous-espace propre associé.
    (d) La matrice est-elle inversible? Est-elle diagonalisable?

Partie II

On considère dans cette partie une matrice de avec .
4. (a) Démontrer que :
(b) Montrer alors que : .
5. On note .
Démontrer que la famille ( ) est une base de .
6. (a) On note et .
Vérifier que :
(b) Calculer et .
(c) Montrer que pour tout entier naturel :
  1. (a) Montrer que est inversible si et seulement si et .
    (b) Si et sont deux réels non nuls, montrer que pour tout entier naturel , on a :

Partie III

Soient et .
On considère la suite de matrices colonnes définie par et la relation de récurrence:

Cócricome

  1. Calculer la matrice et exprimer cette matrice en fonction de et .
  2. À l'aide de la question 7 , calculer la matrice .
  3. Démontrer qu'il existe une unique matrice colonne , que l'on déterminera, telle que :
  1. Démontrer que pour tout entier naturel , on a : , puis que :
  1. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de et .

Exercice 2

Pour tout réel , on pose :

Partie I : Étude de la fonction

  1. Déterminer et .
  2. Soit la fonction définie sur par :
(a) Démontrer que la fonction est strictement croissante sur .
(b) Démontrer qu'il existe un unique réel tel que . Justifier que .
(c) Démontrer que : .
(d) En déduire les variations de la fonction sur .
3. Démontrer que :

Partie II : Étude d'une suite récurrente

Soit la suite définie par son premier terme et la relation de récurrence :
  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel existe et .
  2. Écrire une fonction Scilab qui prend en argument un réel u0 et un entier n et renvoie sous forme de matrice ligne la liste des premières valeurs de la suite de premier terme .
  3. (a) Étudier le signe de pour .
    (b) Montrer que: .
    (c) En déduire que pour tout réel , on a , et que l'équation admet 1 comme unique solution.
  4. Étudier les variations de la suite .
  5. Dans cette question uniquement, on suppose que .
    (a) Démontrer que : .
    (b) En déduire que la suite converge, et déterminer sa limite.

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  1. Dans cette question uniquement, on suppose que .
    (a) Démontrer que : .
    (b) Démontrer que la suite tend vers .
  2. Dans cette question uniquement, on suppose que .
La suite est-elle convergente?

Partie III : Extrema de la fonction

Pour tout couple , on note :
  1. Démontrer que la fonction est de classe sur l'ouvert .
  2. Démontrer que :
  1. Montrer que la fonction admet un unique point critique et préciser les coordonnées de .
  2. Montrer que la matrice hessienne de au point est .
  3. La fonction admet-elle en un extremum local?
  4. Démontrer que la fonction n'admet pas d'extremum global sur .

Exercice 3

On dispose de trois urnes et , et d'une infinité de jetons numérotés
On répartit un par un les jetons dans les urnes : pour chaque jeton, on choisit au hasard et avec équiprobabilité une des trois urnes dans laquelle on place le jeton. Le placement de chaque jeton est indépendant de tous les autres jetons, et la capacité des urnes en nombre de jetons n'est pas limitée.
Pour tout entier naturel non nul, on note (respectivement ) le nombre de jetons présents dans l'urne 1 (respectivement l'urne 2, l'urne 3) après avoir réparti les premiers jetons.

Partie I

Pour tout entier naturel non nul, on note l'événement : « Après la répartition des premiers jetons, au moins une urne reste vide ».
  1. Soit .
    (a) Justifier que et suivent la même loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    (b) Expliciter et .
    (c) Justifier que .
    (d) Exprimer l'événement à l'aide des événements ( ), ( ) et ( ).
    (e) En déduire que : .
  2. On note l'événement : « Au moins l'une des trois urnes reste toujours vide».
Exprimer l'événement à l'aide des événements , puis démontrer que .
3. Soit la variable aléatoire égale au nombre de jetons nécessaires pour que, pour la première fois, chaque urne contienne au moins un jeton.
(a) On rappelle qu'en Scilab la commande grand( , 'uin', ) renvoie une matrice aléatoire à n lignes et p colonnes où chaque coefficient est la réalisation d'une variable aléatoire indépendante suivant une loi uniforme sur l'intervalle , ces variables aléatoires étant mutuellement indépendantes.
Compléter la fonction Scilab ci-dessous pour qu'elle simule le placement des jetons jusqu'au moment où chaque urne contient au moins un jeton, et pour qu'elle renvoie la valeur prise par la variable aléatoire .
function t=T()
    X=0
    Y=0
    Z=0
    n=0
    liste=[X,Y,Z]
    while ........................
        i=grand(1,1,'uin',1,3) // choix d un nombre entier entre 1 et 3
        liste(i)= .................
        n=n+1
    end
    t=........
endfunction
(b) Écrire un script Scilab qui simule 10000 fois la variable aléatoire et qui renvoie une valeur approchée de son espérance (en supposant que cette espérance existe).
4. Déterminer .
5. Démontrer que: .
6. Démontrer que la variable aléatoire admet une espérance, et calculer cette espérance.

Partie II

Pour tout entier naturel non nul, on note la variable aléatoire égale au nombre d'urne(s) encore vide(s) après le placement des premiers jetons.
7. (a) Donner la loi du couple ( ).
(b) En déduire la loi de , et calculer son espérance.
(c) Calculer la covariance de et .
(d) Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
8. Déterminer .
9. Pour , on note la variable aléatoire égale à 1 si l'urne est encore vide après le placement des premiers jetons, et qui vaut 0 sinon.
(a) Montrer que: .
(b) Exprimer la variable aléatoire en fonction des variables aléatoires et .
(c) Exprimer alors en fonction de .
10. Démontrer que : .
Pour , quelle est la valeur de ?
11. Démontrer que: .
Que vaut ?
12. Démontrer que :
  1. Montrer alors que , puis calculer la covariance de et .
  2. Interpréter le résultat obtenu à la question précédente.

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