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Ecricome Maths appliquees ECE 2014

Epreuve de maths appliquees - ECE 2014

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RéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesInformatique
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Ecricome
Année
2014
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2014ECE MathématiquesMathématiques 2014

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Description

Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2014.

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CONCOURS D'ADMISSION 2014

2
Mathématiques
Option Economique

Mercredi 16 avril 2014 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » :
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 6 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

EXERCICE 1

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est :
On considère les vecteurs et de définis par :
On note le noyau de et son image.
Si est une valeur propre de , on désigne par l'espace propre de associé à la valeur propre .

PARTIE I : Réduction de l'endomorphisme .

  1. Déterminer une base de et une base de .
  2. Justifier que n'est pas bijectif. En déduire, sans le moindre calcul, une valeur propre de .
  3. Prouver que et sont deux vecteurs propres de .
Préciser la valeur propre (respectivement ) associée à (respectivement à ).
Donner la dimension de l'espace propre (respectivement ).
4. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
5. Rechercher tous les vecteurs de vérifiant l'équation :
  1. Déterminer un vecteur de , dont la troisième coordonnée (dans la base canonique de ) est nulle, tel que la famille soit une base de et que la matrice de dans la base soit la matrice

PARTIE II : Résolution d'une équation.

Dans les questions 1,2 et 3 de cette partie, on suppose qu'il existe un endomorphisme de vérifiant :
  1. Montrer que :
En déduire que :
  1. Justifier qu'il existe deux réels et tels que et .
  2. On note la matrice de dans la base définie à la question
    I.6. Justifier que :
où et sont les deux réels définis à la question précédente (II.2) et des réels.
4. Existe-t-il des endomorphismes de tels que ? Indication : utiliser les matrices de et dans la base définie à la question I.6.

EXERCICE 2

On considère la fonction définie sur par :
ainsi que la suite définie par :
  1. Déterminer le signe de sur l'intervalle . En déduire que, pour tout entier naturel existe.
  2. Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur fournie par l'utilisateur, calcule et affiche .
  3. Montrer que est continue sur .
  4. Etablir que est de classe sur .
  5. Donner le développement limité à l'ordre de 2 au voisinage de 0 de
puis déterminer un équivalent de lorsque tend vers 0 .
6. Prouver que est de classe sur .
7. Etablir que :
En déduire que :
  1. Démontrer que :
  1. Etablir que la suite converge et préciser la valeur de sa limite .

EXERCICE 3

Soit un réel appartenant à l'intervalle ouvert . on note .
On dispose dans tout l'exercice d'une même pièce dont la probabilité d'obtenir PILE vaut .

PARTIE I : Etude d'une première expérience.

On procède à l'expérience suivante : « On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce».
On note :
  • pour tout entier naturel non nul la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus lors des premiers lancers de la pièce;
  • pour tout entier naturel non nul l'événement : « la pièce donne FACE lors du j-ième lancer »;
  • la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l'apparition du second PILE.
Par exemple, si les lancers ont donné dans cet ordre :

« FACE, PILE, FACE, FACE, FACE, PILE »

alors .
On admet que les variables aléatoires et sont définies sur un même espace probabilisé modélisant l'expérience .
  1. Simulation informatique.
    (a) Ecrire une fonction en Turbo-Pascal d'en-tête :
function LANCER ( p : real) : integer ;
qui crée un nombre aléatoire dans l'intervalle [ 0,1 ] et renvoie 1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à et 0 sinon.
(b) Ecrire une fonction en Turbo-Pascal d'en-tête :
function PREMIER_PILE ( p : real) : integer ;
qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du premier pile et renvoie le nombre de lancers effectués. Indication : si on souhaite, on pourra utiliser la fonction LANCER en la répétant convenablement.
(c) Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui demande un réel à l'utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du second pile et affiche le nombre de faces obtenus en tout. Indication : on pourra utiliser la fonction PREMIER_PILE en la répétant convenablement.
2. Soit un entier naturel non nul. Donner la loi de . Préciser la valeur de son espérance et de sa variance .
3. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire .
4. Donner la valeur des probabilités :
  1. Soit un entier naturel. Justifier que les événements :
sont égaux.
6. Prouver que :
  1. Vérifier par le calcul que :
  1. Démontrer que la variable aléatoire possède une espérance et donner sa valeur.
  2. Soit . On note la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l'apparition du -ième PILE. En particulier, on a .
    En généralisant la méthode utilisée dans les questions précédentes, déterminer la loi de .

PARTIE II : Etude d'une seconde expérience.

On procède à l'expérience suivante :
Deux joueurs se relaient pour effectuer des lancers successifs de la pièce pendant la pause déjeuner.
Le joueur 1 arrive à 12h (considéré comme l'instant 0) et joue jusqu'à l'arrivée du joueur 2.
Le joueur 2 arrive au hasard entre 12h et 13h puis joue jusqu'à 13h exactement (qui est considéré comme l'instant 1). »
On note :
  • la variable aléatoire égale à la durée (en heure) du jeu pour le joueur 1 ;
  • la variable aléatoire égale à la durée (en heure) du jeu pour le joueur 2;
  • la variable aléatoire égale à la durée (en heure) de jeu effectuée par le joueur ayant joué le plus longtemps c'est-à-dire que :
Pour toute variable aléatoire , on note la fonction de répartition de . On admet que et sont deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé muni d'une probabilité modélisant l'expérience . En outre, on suppose que :
suit la loi uniforme sur et que .
(cette dernière relation traduisant que le temps total consacré au jeu par le joueur 1 et le joueur 2 est exactement d'une heure).
  1. Expliciter la fonction puis la fonction . Reconnaitre alors la loi suivie par la variable aléatoire .
  2. Pour tout réel , prouver que :
  1. Déterminer, pour , l'expression de en fonction de .
  2. Justifier que suit la loi uniforme sur .
  3. En déduire que admet une espérance et une variance que l'on précisera.

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