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Ecricome Maths appliquees ECE 2012

Epreuve de maths appliquees - ECE 2012

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Algèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Ecricome
Année
2012
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2012ECE MathématiquesMathématiques 2012

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Description

Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2012.

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ffed9b95-9d17-4cb4-93b6-deeae3fe9539

ECRICOME Eco 2012

EXERCICE 1

.) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
Deux matrices et de étant données, on suppose qu'il existe une matrice appartenant à telle que :
On définit la suite de matrices de de la manière suivante :
  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel :
Dans la suite du problème les matrices et sont choisies de telle sorte que :
On note :
  • Id l'endomorphisme identité de ;
  • a l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est la matrice ;
  • l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est la matrice ;
  • l'image de l'endomorphisme ;
  • l'image de l'endomorphisme Id .
  1. Prouver que le vecteur appartient à l'image de si et seulement si
puis montrer que :
  1. Montrer que la matrice peut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de à une base de vecteurs propres de .
  2. Écrire la matrice de l'endomorphisme ainsi que la matrice de l'endomorphisme dans cette base de vecteurs propres.
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel ,
  1. En écrivant convenablement comme la somme de trois matrices diagonales judicieusement choisies, prouver l'existence de trois matrices indépendantes de telles que pour tout entier naturel :
Expliciter uniquement la matrice sous la forme d'un tableau de nombres.
7. Déterminer par le calcul, une matrice de la forme telle que :
  1. Montrer que la matrice vérifie :
  1. Établir que .
  2. Montrer que chacun des coefficients de la matrice a pour limite, lorsque tend vers , les coefficients de la matrice .

EXERCICE 2.

Partie I. Étude d'une fonction .

On considère la fonction définie sur l'ensemble des réels positifs par :
  1. Ecrire le développement limité de l'ordre 2 , au voisinage de 0 En déduire que est continue sur .
  2. Montrer que est dérivable en 0 et donner la valeur de .
  3. Justifier la dérivabilité de sur l'intervalle puis déterminer la fonction telle que :
  1. Étudier les variations de ;. En déduire le tableau de variation qui sera complété par la limite de en .

Partie II. Étude d'une suite.

On introduit la suite définie par :
  1. Démontrer que pour tout entier naturel non nul :
Donner la limite de la suite .
2. Prouver l'existence de l'intégrale '.
3. Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier naturel non nul :
  1. Donner alors un équivalent simple de lorsque tend vers .

EXERCICE 3.

Soit un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d'un lot du feuilles originales qu'elle a numérotées . Elle photocopie ces feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L'entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant . suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L'entreprise décide donc de placer les originaux et les copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S'il s'agit d'un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence.
On modélise l'expérience par un espace probabilité ( ). Soit la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient originaux et copies (soit feuilles).
On considère l'événement : « à l'issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées » et sa probabilité c'est-à-dire que .
  1. Calculer .
  2. Étude de . On suppose dans cette question que , c'est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies.
    a) Montrer que pour tout entier .
    b) Justifier que la variable suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de en fonction de
  3. Étude de . On suppose dans cette question que , c'est-à-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies.
    a) Calculer puis en fonction de et
    b) A l'aide du système complet d'événements ( ) démontrer pour tout que:
c) Montrer que :
d) Calculer .
e) Prouver que la variable aléatoire admet une espérance et calculer . Donner la valeur de en fonction de et .
f) Établir que la variable aléatoire admet une espérance et donner sa valeur en fonction de et .
En déduire que admet une variance.

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