Ecricome Maths appliquees ECE 2011
Epreuve de maths appliquees - ECE 2011
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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiques
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2011.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Mathématiques
Option Economique
Mercredi 20 avril 2011 de 8h00 à 12h00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps" :
8h00-13h20
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
EXERCICE 1
On dit qu'une matrice
On dit qu'une matrice
où
Soit
Soit
- On pose:
Vérifier que (
Dans toute la suite de l'exercice, on pose :
Dans toute la suite de l'exercice, on pose :
- (a) Déterminer les valeurs propres de
.
(b) La matriceest-elle diagonalisable? - On considère les matrices colonnes
(a) Calculer les produits
(b) Justifier que la matrice
(c) Calculer
4. (a) Etablir que
(b) Vérifier que (
(c) En utilisant la formule du binôme de Newton que l'on justifiera, donner l'expression de
(d) Etablir que : Pour tout entier naturel
(e) Proposer une décomposition de Dunford de
(b) Justifier que la matrice
(c) Calculer
4. (a) Etablir que
(b) Vérifier que (
(c) En utilisant la formule du binôme de Newton que l'on justifiera, donner l'expression de
(d) Etablir que : Pour tout entier naturel
(e) Proposer une décomposition de Dunford de
EXERCICE 2
On considère l'application
On considère l'application
ainsi que la fonction numérique
PARTIE I. Etude des zéros de
- Déterminer la limite de
lorsque tend vers , ainsi que la limite de lorsque tend vers . Interpréter graphiquement cette limite. - Prouver que
est continue sur . - Justifier la dérivabilité de
sur et calculer sa fonction dérivée. - Montrer que
est dérivable en 0 . Donner l'allure de la représentation graphique de au voisinage du point d'abscisse 0 . - Dresser le tableau de variations de
. - On rappelle que
. Montrer l'existence d'un unique réel tel que : et justifier que : . - Etablir la convergence de l'intégrale
et vérifier que :
- On considère les deux suites
et définies par :
Ecrire un programme en Pascal calculant
PARTIE II. Extrema de
Rappelons que
Rappelons que
- Justifier que
est de classe sur . - Calculer les dérivées partielles premières et prouver que le point de coordonnées
est l'unique point critique de sur . - Calculer les dérivées partielles secondes sur
et établir que pour tous réels et strictement positifs :
- La fonction
présente-t-elle un extremum local sur ? Si oui. en donner sa nature (maximum ou minimum).
EXERCICE 3
PARTIE I. Un jeu en ligne.
La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d'écran affiche une grille à trois lignes et trois colonnes.
Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons ( ★ ) dans trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.
Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons ( ★ ) dans trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.
| A | B | C | |
| 1 |
|
||
| 2 |
|
||
| 3 |
|
On définit les événements
-
: « les trois jetons sont alignés horizontalement». -
: « les trois jetons sont alignés verticalement ». -
« les trois jetons sont alignés en diagonale». -
« les trois jetons ne sont pas alignés ».
- Justifier qu'il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.
- Déterminer les probabilités
des événements . - En déduire que la probabilité de l'événement
est égale à :
- La société peut s'attendre à 10000 relances par jour de ce jeu.
(a) Pour chaque entier naturelnon nul, on note le gain de la société à la relance.
Calculer l'espérance mathématique
(b) Quel gain journalier
(b) Quel gain journalier
PARTIE II. Cas de joueurs invétérés.
- Un joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l'on suppose indépendantes.
(a) Donner la loi de la variable aléatoireégale au nombre de parties gagnées.
(b) Indiquer l'espérance et la variance de.
(c) Exprimer la pertedu joueur en fonction de . - Quel est le nombre minimum
de parties devrait-il jouer pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure ou égale à ? (On admettra que et ). - Un autre joueur décide de jouer et de miser tant qu'une partie n'est pas gagnée. On note
la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois.
(a) Donner la loi de la variable aléatoire.
(b) Indiquer l'espérance et la variance de.
(c) Pour tout entier naturel, montrer que la probabilité que le joueur joue au plus parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par la formule :
PARTIE III. Contrôle de la qualité du jeu.
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la base (
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la base (
- Calculer les probabilités conditionnelles
, et des événements sachant l'événement . - Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements (
) pour en déduire que la probabilité que les jetons ne soient pas alignés est égale à :
- Soit
la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d'une partie jouée. Déterminer la valeur maximale de pour que l'espérance de gain soit positive. - On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction de
que la fonction aléatoire ait été déréglée?
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