Ecricome Maths appliquees ECE 2010
Epreuve de maths appliquees - ECE 2010
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Algèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités continues
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2010.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Mathématiques
Option Economique
Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
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L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
EXERCICE 1.
Soit
ainsi que la fonction polynômiale
I. Recherche des valeurs propres de
- Montrer que le réel
est une valeur propre de si et seulement si est racine du polynôme . - Vérifier que le réel
est racine de . - En déduire les racines de
ainsi que leur nombre en fonction de . - Lorsque
, l'endomorphisme est-il diagonalisable?
II. Réduction de la matrice
Dans toute la suite de l'exercice on suppose a différent de 1 .
Soit
Soit
- Prouver que
est une base de .
On note
2. Montrer que
3. Vérifier que le sous-espace vectoriel
2. Montrer que
3. Vérifier que le sous-espace vectoriel
- Donner l'expression de la matrice
de l'endomorphisme dans la nouvelle base . - Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
:
III. Etude d'une suite récurrente linéaire.
Soit
- Vérifier que pour tout entier naturel
:
- Etablir par récurrence que pour tout entier naturel
:
- Donner l'expression matricielle de la matrice inverse de
puis exprimer en fonction de . - La suite
est-elle convergente?
EXERCICE 2
On considère l'application
I. Résolution de l'équation
- Déterminer la limite de
lorsque tend vers 0 par valeurs positives.
Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite de
2. Déterminer la limite de
Interpréter graphiquement cette limite.
3. Prouver que
4. Dresser le tableau de variation de
5. On rappelle que
3. Prouver que
4. Dresser le tableau de variation de
5. On rappelle que
Montrer que l'équation
- Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer
dans un intervalle d'amplitude .
II. Une variable à densité.
Soit
- Vérifier que
est bien une densité de probabilité. - Montrer que
admet une espérance . - Démontrer que pour
:
En déduire que l'espérance de
Donner un encadrement de
4. La variable aléatoire réelle
4. La variable aléatoire réelle
EXERCICE 3
Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces.
Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces.
Pour ce jeu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux dés équilibrés.
On note :
-
le résultat du premier dé et le résultat du deuxième dé, -
l'événement: « », l'événement: « » et l'événement: .
Lors d'une partie, - si l'événement
se produit alors le joueur ne marque pas de point, - si l'événement
se produit alors le joueur marque 2 points, - si l'événement
se produit alors le joueur marque 1 point.
I. Etude de parties successives.
Soit
Pour tout entier naturel
Pour tout entier naturel
-
la variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de la partie; -
le nombre de points marqués après parties.
- Calculer la probabilité de chacun des événements
et . - Soit
, déterminer la loi de la variable aléatoire puis calculer son espérance et sa variance. - Trouver la loi de la variable aléatoire
. - Quelle est la loi de la variable aléatoire
? - (a) Préciser l'ensemble
des valeurs prises par la variable aléatoire .
(b) Construire et remplir le tableau de la loi conjointe du couple. On justifiera précisément une valeur non nulle de ce tableau, les autres pouvant être données directement.
(c) En déduire la loi de la variable aléatoire. - (a) Ecrire
en fonction des variables aléatoires . En déduire l'espérance mathématique et la variance de .
(b) En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour obtenir plus de 10 points?
II. Etude du temps d'attente.
Le joueur joue maintenant jusqu'à ce qu'il dépasse un nombre de points donné. Plus précisément on note :
Par exemple si les points marqués par le joueur sont dans l'ordre :
Exemple 1:001012
Exemple 2:000212... alors
Exemple 1:001012
Exemple 2:000212... alors
- (a) Préciser l'ensemble
des valeurs prises par la variable aléatoire puis, pour tout appartenant à , donner la valeur de la probabilité .
(b) Donner la valeur de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire. - (a) Déterminer l'ensemble
des valeurs prises par la variable aléatoire .
(b) Calculer les probabilitéset .
(c) Prouver que, pour, on a :
(d) Ce résultat est-il valable pour
(e) Etablir que :
(f) Que peut-on en déduire pour l'événement « le joueur n'obtient jamais un score cumulé supérieur ou égal à 2 » ?
(g) Calculer
(e) Etablir que :
(f) Que peut-on en déduire pour l'événement « le joueur n'obtient jamais un score cumulé supérieur ou égal à 2 » ?
(g) Calculer
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