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Mathématiques

Jeudi 14 mai 2009 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

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1. EXERCICE.

1.1. Recherche d'une base de .

1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 3 .
2. Donner une base de ainsi que sa dimension.

1.2. Cas particulier de la matrice .

1. Donner les valeurs propres de .
2. Déterminer une matrice inversible to une matrice diagonalisable de telles que :

3. Donner l'expression de et en déduire la matrice en fonction de l'entier naturel .
   1.3. Cas particulier de la matrice .

1. Calculer les matrices . En déduire, sans démonstration, l'expression de , pour tout entier naturel .
2. Montrer que our tout entier naturel :

1. Démontrer que est une base de .
2. Prouver que les vecteurs et sont deux vecteurs propres de associés à deux valeurs propres que l'on précisera.
3. Exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs et . En déduire la matrice de dans la base .
4. Montrer que pour tout entier naturel :

5. Montrer que la matrice de passage de la base canonique à la base a pour matrice inverse la matrice .
6. Donner une relation reliant les matrices et .
7. Sans l'expliciter, écrire en fonction de .

2. EXERCICE.

2.1. Étude des zéros de .

1. Déterminer la limite de lorsque tend vers 0 par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite de lorsque tend vers , ainsi que la limite de lorsque tend vers . Interpréter graphiquement cette limite.
3. Justifier la dérivabilité de sur , déterminer sa dérivée.
4. Dresser le tableau de variation de , faire apparaître les limites de en et .
5. On rappelle que . Montrer l'existence de deux réels positifs et tels que :

6. Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer dans un intervalle d'amplitude .

2.2. Extrema de sur .

1. Justifier que est de classe sur .
2. Calculer les dérivées partielles premières et prouver que pour et strictement positifs :

3. Montrer que les points de coordonnées respectives et sont des points critiques de sur .
4. Calculer les dérivées partielles secondes sur et établir que :

5. La fonction présente-t-elle un extremum local sur au point de coordonnées ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).
6. De même, la fonction présente-t-elle un extremum local sur au point de coordonnées ?

3. EXERCICE.

3.1. Liminaire.

1. Calculer la somme .
2. Dériver l'égalité obtenue et montrer que :

3.2. Partie 1.

1. Déterminer la valeur de en utilisant la table jointe en annexe.
2. Quelle est la probabilité que le retard soit supérieur à 9 minutes?
3. Sachant que le retard est supérieur à 3 minutes, quelle est la probabilité que le retard soit inférieur à 7 minutes? (On exprimera cette probabilité à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, puis on utilisera la table jointe en annexe).
4. Monsieur Thierex fréquente cette ligne de bus tous les jours pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont indépendants.
   a. On désigne par la variable aléatoire réelle égale au nombre de jours où Monsieur Thierex a attendu moins de 7 minutes.
   Déterminer la loi de , donner sans calcul son espérance et sa variance.
   b. On définit par la variable aléatoire discrète réelle indiquant le rang du jour où pour la première fois Monsieur Thierex attend plus de 7 minutes si cet événement se produit. Dans le cas contraire, si le temps d'attente est inférieur à 7 minutes pendant les dix jours, prend la valeur 0 .
   Déterminer en fonction de la probabilité des événements , puis pour .
   Utiliser le liminaire pour calculer l'espérance de en fonction de .
5. Lassé des retards de son bus, Monsieur Thurman décide de prendre le bus ou le métro selon le protocole suivant :

• Le premier jour, il prend le bus.
• Si le jour il attend plus de 7 minutes pour prendre le bus, le jour il prend le métro, sinon il prend de nouveau le bus.
• Si le jour il prend le métro, le jour il prend le métro ou le bus de façon équiprobable.

3.3. Partie 2.

1. Le nombre d'appels reçus par le standard d'une société de taxis pendant une période de durée suit une loi de Poisson de paramètre étant une constante strictement positive. Une origine de temps étant choisie, on note la variable aléatoire réelle représentant le temps d'attente du premier appel vers ce standard. Par convention pour .
   a. Pour tout entier naturel , rappeler la valeur de la probabilité de l'événement , ainsi que l'espérance et la variance de .
   b. Que peut-on dire des événements et pour ? En déduire la probabilité des événements et pour .
   c. Expliciter la fonction de répartition de . Réconnaître la loi de et donner son espérance et sa variance.
2. La durée, exprimée en heures, du transport d'un client par la société est une variable aléatoire à densité dont une densité est donnée par :

Table