Ecricome Maths appliquees ECE 2008
Epreuve de maths appliquees - ECE 2008
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Algèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2008.
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1. EXERCICE.
A tout couple
On désigne par
On note
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3. - Donner une base de
ainsi que sa dimension. - Vérifier que les réels 1 et 2 sont deux valeurs propres de
.
Donner les dimensions des sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
En déduire que la matrice
4. Déterminer deux matrices
En déduire que la matrice
4. Déterminer deux matrices
-
est inversible et ses trois éléments diagonaux sont égaux à 1 . -
est diagonale avec . -
.
Donner l'expression de la matrice
5. Prouver que la matrice
6. Montrer que
5. Prouver que la matrice
6. Montrer que
En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur
7. Prouver que
7. Prouver que
En déduire l'existence de quatre matrices
2. EXERCICE.
On considère les fonctions suivantes :
On note (
2.1. Recherche d'extremum éventuel de la fonction
- Représenter, relativement à un repère orthonormé du plan, le domaine de définition
de la fonction . On hachurera . On admet que cet ensemble est un ouvert de . - Déterminer sur
les dérivées partielles premières de . La fonction admet-elle un extremum sur ?
2.2. Etude de la fonction
- Donner le domaine de définition de
. - Déterminer le développement limité en 0 , à l'ordre 2 , de la fonction
. - En déduire une équation de la tangente à
au point d'abscisse 0 , et la position locale de la courbe par rapport à cette tangente. - Déterminer
. Donner une interprétation graphique de ces limites.
2.3. Etude d'une suite
- Montrer que l'équation
admet une unique solution sur l'intervalle . (On ne cherchera pas à calculer ). - Déterminer le signe de
et en déduire que la suite est monotone. - Prouver que l'on a :
Quel est le comportement de la suite
2.4. Valeur approchée de
On admet que le réel
On définit la suite (
On définit la suite (
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
:
- Appliquer à
l'inégalité des accroissements finis entre et et en déduire que pour tout entier naturel :
- Déterminer un entier naturel
de telle sorte que si l'entier est supérieur ou égal à alors est inférieur ou égal à . - Ecrire un programme en langage Pascal permettant d'obtenir les valeurs de
et de .
3. EXERCICE.
On s'intéresse dans cet exercice à l'étude de trois jeux présents dans une fête foraine.
3.1. Premier jeu.
Pour ce premier jeu de hasard, la mise pour chaque partie est de 1 euro. L'observation montre qu'une partie est gagnée avec la probabilité
- Donner la loi de
, ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de cette variable. - Exprimer
en fonction de . En déduire la valeur de l'espérance et de la variance de . - La personne décide de jouer 60 parties. On admet que l'on peut approcher
par une loi de Poisson.
a. Donner le paramètre de cette loi de Poisson.
b. A l'issue des 60 parties, quelle est la probabilité que le joueur perde moins de 50 euros? (Cette probabilité sera impérativement calculée en utilisant l'annexe située à la fin de l'exercice).
3.2. Deuxième jeu.
Pour ce deuxième jeu, le participant lance trois fléchettes dans une cible circulaire de centre O et de rayon 1 . Pour
Le joueur gagne si la fléchette la plus proche du centre O se trouve à distance inférieure à
- Vérifier que
est une densité de probabilité et déterminer la fonction de répartition de . - Déterminer l'espérance de
. - Exprimer l'événement
à l'aide des événements , pour tout réel. - Déterminer la fonction de répartition
de et montrer que est une variable à densité et en donner une densité notée . - Quelle est la probabilité de l'événement
"le joueur gagne la partie"?
3.3. Troisième jeu.
Pour ce dernier jeu, le participant lance successivement
Le gain étant fonction du nombre de cases atteintes, on étudie la variable aléatoire
Le gain étant fonction du nombre de cases atteintes, on étudie la variable aléatoire
- Déterminer en fonction de
et les valeurs prises par . - Donner les lois de
et de . - Déterminer, lorsque
, la probabilité des événements . (pour la dernière probabilité on distinguera deux cas et ). - A l'aide de la formule des probabilités totales, justifier l'égalité (
) suivante, pour tout entier tel que .
- Afin de calculer l'espérance
de la variable , on considère la fonction polynomiale définie par :
a. Quelle est la valeur de
b. Exprimer
c. En utilisant la relation (I), montrer que :
b. Exprimer
c. En utilisant la relation (I), montrer que :
d. En dérivant l'expression précédente, en déduire que :
e. Prouver enfin que l'espérance de la variable
Table ae Polsson aomnant les probabilies cumaulees i e- i
| k |
|
|
|
|
|
| 0 | 0,0498 | 0,0183 | 0,0067 | 0,0025 | 0,0009 |
| 1 | 0,1991 | 0,0916 | 0,0404 | 0,0174 | 0,0073 |
| 2 | 0,4232 | 0,2381 | 0,1247 | 0,0620 | 0,0296 |
| 3 | 0,6472 | 0,4335 | 0,2650 | 0,1512 | 0,0818 |
| 4 | 0,8153 | 0,6288 | 0,4405 | 0,2851 | 0,1730 |
| 5 | 0,9161 | 0,7851 | 0,6160 | 0,4457 | 0,3007 |
| 6 | 0,9665 | 0,8893 | 0,7622 | 0,6063 | 0,4497 |
| 7 | 0,9881 | 0,9489 | 0,8666 | 0,7440 | 0,5987 |
| 8 | 0,9962 | 0,9786 | 0,9319 | 0,8472 | 0,7291 |
| 9 | 0,9989 | 0,9919 | 0,9682 | 0,9161 | 0,8305 |
| 10 | 0,9997 | 0,9972 | 0,9863 | 0,9574 | 0,9015 |
| 11 | 0,9999 | 0,9991 | 0,9945 | 0,9799 | 0,9467 |
| 12 | 1,0000 | 0,9997 | 0,9980 | 0,9912 | 0,9730 |
| 13 | 0,9999 | 0,9993 | 0,9964 | 0,9872 | |
| 14 | 1,0000 | 0,9998 | 0,9986 | 0,9943 | |
| 15 | 0,9999 | 0,9995 | 0,9976 | ||
| 16 | 1,0000 | 0,9998 | 0,9990 | ||
| 17 | 0,9999 | 0,9996 | |||
| 18 | 1,0000 | 0,9999 | |||
| 19 | 1,0000 | ||||
| 20 |
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