Ecricome Maths appliquees ECE 2007
Epreuve de maths appliquees - ECE 2007
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2007.
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2
Mathématiques Option Economique
Mercredi 18 avril 2007 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 6 pages.
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Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
1. EXERCICE.
Soit a un réel strictement positif. On considère la fonction
ainsi que la suite
1.1. Etude des variations de la fonction
- Déterminer la limite de
lorsque tend vers . Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de et donner la position de la courbe représentative de par rapport à cette asymptote. - Déterminer la limite de
lorsque tend vers 0 par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite. - Donner l'expression de la fonction dérivée de
sur et dresser le tableau de variation de . - En déduire que :
1.2. Etude de la convergence de la suite
- Que dire de la suite
dans le cas particulier où ? - Dans la suite on revient au cas général
.
Démontrer que :
- Montrer que pour tout entier
, non nul :
- Prouver alors que pour tout entier
non nul :
Puis que :
- En déduire la convergence de la suite (
) et indiquer sa limite. - En utilisant ce qui précède, écrire un programme en langage Pascal permettant d'afficher les 100 premiers termes d'une suite
, de premier terme 1 , convergeant vers .
1.3. Recherche d'extremum d'une fonction à deux variables.
On considère, sur
- Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de
sur . - Montrer que
admet un extremum local sur dont on précisera la nature. - Vérifier que :
- En déduire que l'extremum local est un extremum global de
sur .
2. EXERCICE.
on définit l'application
2.1. Diagonalisation de A.
- Vérifier que
. En déduire les valeurs propres possibles de . - Prouver que la matrice
est diagonalisable et déterminer une matrice inversible de et une matrice diagonale de dont la première colonne est nulle vérifiant la relation :
Donner l'écriture matricielle de
2.2. Diagonalisation de
- Montrer que
est un endomorphisme de . - Etablir que
est un polynôme annulateur de . En déduire les valeurs propres possibles de . - Montrer que la matrice
est un vecteur propre de associée à la valeur propre si et seulement si la matrice est non nulle et vérifie l'équation matricielle :
- On pose
.
a. Trouver l'ensemble des matricestelles que .
b. En déduire que la familleavec est une base du sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
c. Déterminer les deux autres valeurs propres non nulleset de et caractériser les matrices associées.
d. En déduire une base de chaque sous-espace propreet associé aux valeurs propres et . - L'endomorphisme
est-il diagonalisable?
3. EXERCICE.
Soucieux d'améliorer le flux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les observations suivantes :
3.1. Mode de paiement de la clientèle.
- L'étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis-d'établir les probabilités suivantes :
où
a. Déterminer les lois de
b. Calculer la covariance du couple (
c. Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les individus.
a. Déterminer les lois de
b. Calculer la covariance du couple (
c. Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les individus.
Une caissière reçoit
On définit trois variables aléatoires
On définit trois variables aléatoires
-
comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire.
(resp. ) est égale au rang du (resp.du ème) client utilisant la carte bancaire comme moyen de paiement, s'il y en a au moins un (resp.au moins deux) et à zéro sinon.
a. Reconnaître la loi de, rappeler la valeur de l'espérance et de la variance de cette variable aléatoire.
b. Déterminer la loi deet vérifier que :
c. Déterminer la loi de
3.2. Etude du temps moyen de passage en caisse.
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire
- Rappeler la définition d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire
suivant une loi exponentielle de paramètre . Donner la valeur de l'espérance et de la variance de . - Utiliser la question précédente pour vérifier que
est bien une densité de probabilité, puis montrer que admet une espérance que l'on déterminera.
Quel est le temps moyen de passage en caisse ? - a. Démontrer que la fonction de répartition de
, notée est définie par :
b. Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu'il est supérieur à une unité est égale à
4. Un jour donné, trois clients
a.
b. Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire
4. Un jour donné, trois clients
a.
b. Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire
c. Prouver que
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