Ecricome Maths appliquees ECE 2006
Epreuve de maths appliquees - ECE 2006
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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités continuesAlgèbre linéaireRéduction
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2006.
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ECRICOME 2006
Option Economique
1 EXERCICE
. On considère la fonction
ainsi que la fonction
1.1 Recherche d'extremum local de
- Etudier les variations de
et donner les limites de lorsque tend vers et . - Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de
et donner la position de la courbe représentative de par rapport à cette asymptote. - Déduire des variations de
l'existence d'un unique réel , élément de l'intervalle tel que . ( on rappelle que ) - Déterminer le seul point critique de
, c'est-à-dire le seul couple de , en lequel est susceptible de présenter un extremum. - Vérifier que
présente un extremum relatif en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum? - Montrer que l'on a :
1.2 Etude d'une suite réelle.
On s'intéresse à la suite
- Prouver que
est convexe sur . En déduire que que pour tous réels et :
- En déduire l'inégalité suivante :
Puis que pour tout entier naturel n. :
En déduire que la suite
3. On admet que pour tout
3. On admet que pour tout
a) Prouver alors que pour tout entier naturel
b) Puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
- Écrire un programme en langage Pascal permettant, lorsque l'entier naturel
est donné par l'utilisateur, de calculer une valeur approchée de , de telle sorte que l'on ait :
2 EXERCICE
Pour tout entier naturel
- Justifier que
est négligeable devant au voisinage de . - Prouver la convergence de l'intégrale
- On pose
a) A l'aide d'une intégration par parties portant sur des intégrales définies sur le segmentavec , prouver que pour tout entier naturel :
b) En utilisant la loi normale centrée réduite, justifier que :
c) Donner la valeur de
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
- Soit
la fonction définie pour tout réel par :
a) Démontrer que
b) Soit
i. Justifier que
ii. Justifier que
5. On désigne par
a) Exprimer
b) En déduire que
b) Soit
i. Justifier que
ii. Justifier que
5. On désigne par
a) Exprimer
b) En déduire que
3 EXERCICE.
3.1 Étude d'un endomorphisme de
On considère l'application
et
- Montrer que
est un endomorphisme de . - Vérifier que la matrice
de dans , s'écrit sous la forme :
- Quelles sont les valeurs propres de
? est-il diagonalisable? est-il un automorphisme de ? - Déterminer l'image par
des fonctions polynômes définies par:
- Montrer que
est une base de vecteurs propres de . Écrire la matrice de passage de la base à la base ainsi que la matrice de dans la base . - Vérifier que pour tout réel
:
En déduire la matrice de passage de la base
7. Écrire
7. Écrire
et expliciter la troisième colonne de la matrice
3.2 Suite d'épreuves aléatoires.
On dispose d'une urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2 .
On s'intéresse à une suite d'épreuves définies de la manière suivante :
On s'intéresse à une suite d'épreuves définies de la manière suivante :
- La première épreuve consiste à choisir au hasard une boule dans cette urne.
- Si
est le numéro de la boule tirée, on enlève de l'urne toutes les boules dont le numéro est strictement supérieur à , le tirage suivant se faisant alors dans l'urne ne contenant plus que les boules numérotées de 0 à .
On considère alors la variable aléatoire réelleégale au numéro de la boule obtenue à la épreuve ( )
On note alorsla matrice unicolonne définie par :
où
On convient de définir la matrice
On convient de définir la matrice
- Déterminer la loi de
(On pourra s'aider d'un arbre). Calculer l'espérance et la variance de - Par utilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturel
:
- Écrire
en fonction de et - Pour tout
de , donner la loi de et vérifier que l'on a :
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